Question

“神舟”六號載人飛船在空中環繞地球做勻速圓周運動，某次經過赤道的正上空時，對應的經度為θ₁（實際為西經157.5°），飛船繞地球轉一圈后，又經過赤道的正上空，此時對應的經度為θ₂（實際為西經180°）．已知地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，地球自轉的周期為T₀．求飛船運行的圓周軌道離地面高度h的表達式．（用θ₁、θ₂、T₀、g和R表示）．

Answer 1

分析：根據題意求出神舟”六號載人飛船繞地球做圓周運動的周期，飛船繞地球做圓周運動的向心力由地球對它的萬有引力提供，由牛頓第二定律列方程，可以求出飛船的軌道半徑，然后求出飛船距地面的高度．

解答：解：飛船轉一周，地球轉動△θ=θ₂-θ₁，
飛船繞地球做圓周運動的周期T=

△θ

2π

T₀=

θ2-θ1

2π

T₀  ①，
設地球質量為M，飛船質量為m，飛船軌道半徑為r，
由牛頓第二定律得：

GMm

r2

=m(

2π

T

)2r   ②，
對地球表面上的物體m₀，有m₀g=G

Mm0

R2

  ③，
由①②③解得：r=

3	gR2(θ2-θ1)2 T 2 0 16π4

，
則飛船運行的圓周軌道離地面高度h=r-R=

3	gR2(θ2-θ1)2 T 2 0 16π4

-R；
答：飛船運行的圓周軌道離地面高度

3	gR2(θ2-θ1)2 T 2 0 16π4

-R．

點評：本題考查了萬有引力定律的應用，萬有引力提供天體做圓周運動所需的向心力，忽略地球自轉的影響，地球表面的物體受到的重力等于地球對它的萬有引力，注意“黃金代換”的應用，這是正確解題的關鍵．