Question

18．如圖所示，半徑為$\frac{l}{4}$、質量為m的小球用兩根不可伸長的輕繩a、b連接（繩子的延長線經過球心 ），兩輕繩的另一端系在一根豎直桿的A、B兩點上，A、B兩點相距為l，當兩輕繩伸直后，A、B兩點到球心的距離均為l．當豎直桿以自己為軸轉動并達到穩定時（輕繩a、b與桿在同一豎直平面內）．求：
（1）豎直桿角速度ω為多大時，小球恰好離開豎直桿？
（2）當豎直桿角速度ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$時，輕繩a的張力F_a為多大？

Answer 1

分析 （1）小球恰離開豎直桿時，受重力和拉力，拉力的豎直分力與重力平衡，水平分力提供向心力；
（2）由向心力公式可明確此時繩是否張緊，再根據向心力公式列式即可明確此時繩a的拉力．

解答 （1）小球恰好離開豎直桿時，小球與豎直桿間的作用力為零，設此時輕繩a與豎直桿間的夾角為α，由題意可知
sinα=$\frac{1}{4}$，r=$\frac{l}{4}$
沿半徑：F_asin α=mω²r
垂直半徑：F_acos α=mg
聯立解得ω=2$\sqrt{\frac{g}{15l}}$．
（2）若角速度ω再增大，小球將離開豎直桿，在輕繩b恰伸直前，設輕繩a與豎直桿的夾角為β，此時小球做圓周運動的半徑為r=lsin β
沿半徑：F_asin β=mω²r，
垂直半徑：F_acos β=mg
聯立解得F_a=mω²l
當輕繩b恰伸直時，β=60°，此時ω=$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
由于ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$＞$\sqrt{\frac{2g}{l}}$
故輕繩b已拉直，小球做圓周運動的半徑為r=lsin 60°
沿半徑：F_asin 60°+F_bsin 60°=mω²r
垂直半徑：F_acos 60°=F_bcos 60°+mg
聯立解得F_a=$\frac{1}{2}$mlω²+mg，代入數據解得：F_a=3mg
答：（1）豎直桿角速度ω為2$\sqrt{\frac{g}{15l}}$時，小球恰好離開豎直桿？
（2）當豎直桿角速度ω=2$\sqrt{\frac{g}{l}}$時，輕繩a的張力F_a為3mg．

點評 本題關鍵是明確明確小球合力的水平分力提供向心力，豎直分力平衡；要注意第二問在解題時一定要先判斷繩b的狀態才能準確求解．