Question

13．小球從高180m處自由下落，著地后跳起又下落，每與地面相碰時碰后速度大小為碰前速度大小的$\frac{1}{2}$，則小球從開始下落到停止經過的總時間為18s（g取10m/s²）

Answer 1

分析 小球自h=180m高處自由落下，求出第一次落地時的速度，由題意得到第二、三、四…次碰地后反彈時的速度大小．第一次小球做自由落體運動，以后撞地后，小球做豎直上拋運動，由t=$\frac{2{v}_{0}}{g}$求豎直上拋的時間，找出規律，由數學知識求解總時間．

解答 解：小球第一次落地時速度為
 v₀=$\sqrt{2gh}$=$\sqrt{2×10×180}$=60m/s
由題小球第2，3，4…（n+1）次碰地后反彈時的速度大小分別為
 v₁=$\frac{1}{2}$v₀；
 v₂=（$\frac{1}{2}$）²v₀；
 v₃=（$\frac{1}{2}$）³v₀；
 …
v_n=（$\frac{1}{2}$）ⁿv₀；
小球第1下落時間為
  t₀=$\frac{{v}_{0}}{g}$
小球從第1次與地面相撞到第2次與地面相撞經過的時間為
  t₁=$\frac{2{v}_{1}}{g}$=$\frac{{v}_{0}}{g}$
小球從第2次與地面相撞到第3次與地面相撞經過的時間為
  t₂=$\frac{{2v}_{2}}{g}$=$\frac{{v}_{0}}{2g}$
小球從第3次與地面相撞到第4次與地面相撞經過的時間為
  t₃=$\frac{2{v}_{3}}{g}$=$\frac{{v}_{0}}{{2}^{2}g}$
 …
由數學歸納推理得
小球從第n次與地面相撞到第（n+1）次與地面相撞經過的時間為
t_n=$\frac{{v}_{0}}{{2}^{n-1}g}$
所以小球運動的總時間為
t=t₁+t₂+t₃+…+t_n=t₀=$\frac{{v}_{0}}{g}$+$\frac{{v}_{0}}{g}$+$\frac{{v}_{0}}{2g}$+…+$\frac{{v}_{0}}{{2}^{n-1}g}$=（1+1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{{2}^{2}}$+…+$\frac{1}{{2}^{n-1}}$）$\frac{{v}_{0}}{g}$=（1+$\frac{1}{1-\frac{1}{2}}$）×$\frac{60}{10}$s=18s
故答案為：18

點評 分析小球每次撞地后反彈的速度，找出時間的規律是解決本題的關鍵，即應用數學歸納法解決本題，這是高考考查的重要內容之一．