Question

10．如圖所示，在豎直平面內有半徑為R和2R的兩個圓，兩圓的最高點相切，切點為A，B和C分別是小圓和大圓上的兩個點，其中AB長為$\sqrt{2}$R，AC長為2$\sqrt{2}$R．現沿AB和AC建立兩條光滑軌道，自A處由靜止釋放小球，已知小球沿AB軌道運動到B點所用時間為t₁，沿AC軌道運動到C點所用時間為t₂，則t₁與t₂之比為（　　）

• A． 1：$\sqrt{2}$
• B． 1：2
• C． 1：$\sqrt{3}$
• D． 1：3

Answer 1

分析 設AB和豎直方向的夾角為θ，根據幾何關系求出AB與半徑的關系，小球沿ab做勻加速直線運動，根據牛頓第二定律求出加速度，再根據勻變速直線運動位移時間公式求出時間；同理求出沿AC下滑的時間，然后進行求解．

解答 解：設AB與豎直方向的夾角為θ，如圖所示，
則：AB=2Rcosθ                          
由牛頓第二定律得物體沿AB下滑的加速度為：a=gcosθ       
解得在AB上運動的時間為t₁，則：AB=$\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，
解得：${t}_{1}=2\sqrt{\frac{R}{g}}$；
設AC與豎直方向的夾角為α，則：AC=4Rcosα
由牛頓第二定律得物體沿AC下滑的加速度為：a=gcosα
可知物體在AC上運動的時間為：t₂=2$\sqrt{\frac{2R}{g}}$，
所以$\frac{{t}_{1}}{{t}_{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$，A正確，BCD錯誤．
故選：A．

點評 題主要考查了牛頓第二定律以及運動學基本公式的直接應用，解題時要分析清楚小球的運動情況，并能結合幾何關系求解，難度適中．