Question

2007年10月24日18時(shí)05分，搭載著我國首顆探月衛(wèi)星“嫦娥一號”的長征三號甲運(yùn)載火箭在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心三號塔架點(diǎn)火發(fā)射。11月5日10時(shí)35分左右，經(jīng)過180多萬千米長途飛行的“嫦娥一號”衛(wèi)星，被月球成功捕獲，開始繞月球做無動力狀態(tài)下的橢圓軌道運(yùn)動。如圖所示為該橢圓軌道示意圖，已知遠(yuǎn)月點(diǎn)距月心距離為r_a，近月點(diǎn)距月心距離為r_b。此后，衛(wèi)星還將進(jìn)行兩次近月制動，最終進(jìn)入距離月球200千米、周期為127分鐘的圓形軌道。若衛(wèi)星運(yùn)動遵守開普勒三定律，其第二定律內(nèi)容可簡化為如下表達(dá)式：r_a×v_a=r_b×v_b，式中v_a、v_b分別是遠(yuǎn)月點(diǎn)和近月點(diǎn)衛(wèi)星運(yùn)行速度；第三定律內(nèi)容可表述為：如果衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動的半徑與做橢圓運(yùn)動的長半軸相等，則兩者周期相等；衛(wèi)星在距月心距離為r時(shí)，引力勢能可寫成-GMm/r。若已知月球質(zhì)量為M，引力常量為G，忽略衛(wèi)星在太空運(yùn)行時(shí)的一切阻力。根據(jù)以上信息求：

（1）“嫦娥一號”衛(wèi)星在該橢圓軌道上的運(yùn)行周期；

（2）“嫦娥一號”衛(wèi)星的近月運(yùn)行速度。

Answer 1

解：（1）衛(wèi)星繞月球做圓周運(yùn)動的半徑與做橢圓運(yùn)動的半長軸相等時(shí)，則兩者周期相等。

令衛(wèi)星質(zhì)量為m，對以半長軸R為半徑繞月球做圓周運(yùn)動的衛(wèi)星，據(jù)萬有引力定律得：

 

R=

所以T=π(r_a+r_b)

所以“嫦娥一號”在橢圓軌道上的運(yùn)行周期

T=π(r_a+r_b)。

（2）據(jù)開普勒三定律中的第二定律：r_av_a=r_bv_b

對衛(wèi)星，據(jù)機(jī)械能守恒，有：

mv_a²/2-GMm/r_a=mv_b²/2-GMm/r_b

由上兩式得“嫦娥一號”近月運(yùn)行速度

v_b=。

本題考查天體運(yùn)動、萬有引力定律、開普勒第二定律、機(jī)械能守恒等有關(guān)知識。