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如圖所示，某城市有南北街道和東西街道各n+1條，一郵遞員從該城市西北角的郵局A出發，送信到東南角B地，要求所走路程最短．
（1）求該郵遞員途徑C地的概率f（n）；
（2）求證：2＜[2f（n）]²ⁿ⁺¹＜3，（n∈N^*）．

【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區域內作答，解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
21-1．（選修4-2：矩陣與變換）
設M是把坐標平面上的點的橫坐標伸長到2倍，縱坐標伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應的特征向量；
（2）求逆矩陣M^-1以及橢圓

x2

4

+

y2

9

=1在M^-1的作用下的新曲線的方程．
21-2．（選修4-4：參數方程）
以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標為（1，-5），點M的極坐標為（4，

π

2

），若直線l過點P，且傾斜角為 

π

3

，圓C以M為圓心、4為半徑．
（1）求直線l關于t的參數方程和圓C的極坐標方程；
（2）試判定直線l和圓C的位置關系．

已知函數f（x）=（mx+n）e^-x（m，n∈R，e是自然對數的底）
（1）若函數f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+ey-3=0，試確定函數f（x）的單調區間；
（2）①當n=-1，m∈R時，若對于任意x∈[

1

2

，2]，都有f（x）≥x恒成立，求實數m的最小值；
②當m=n=1時，設函數g（x）=xf（x）+tf'（x）+e^-x（t∈R），是否存在實數a，b，c∈[0，1]，使得g（a）+g（b）＜g（c）？若存在，求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左頂點為A，左、右焦點分別為F₁，F₂，且圓C：x2+y2+

3

x-3y-6=0過A，F₂兩點．
（1）求橢圓標準的方程；
（2）設直線PF₂的傾斜角為α，直線PF₁的傾斜角為β，當β-α=

2π

3

時，證明：點P在一定圓上；
（3）設橢圓的上頂點為Q，證明：PQ=PF₁+PF₂．

如圖，正方形ABCD所在的平面與三角形CDE所在的平面交于CD，AE⊥平面CDE，且AB=2AE．
（1）求證：AB∥平面CDE；
（2）求證：平面ABCD⊥平面ADE．

設等比數列{a_n}滿足公比q∈N^*，a_n∈N^*，且{a_n}中的任意兩項之積也是該數列中的一項，若a₁=2⁸¹，則q的所有可能取值的集合為．

已知|AB|=3，C是線段AB上異于A，B的一點，△ADC，△BCE均為等邊三角形，則△CDE的外接圓的半徑的最小值是．

已知半橢圓

y2

a2

+

x2

b2

=1（y≥0，a＞b＞0）和半圓x²+y²=b²（y≤0）組成的曲線C如圖所示．曲線C交x軸于點A，B，交y軸于點G，H，點M是半圓上異于A，B的任意一點，當點M位于點（

6

3

，-

3

3

）時，△AGM的面積最大，則半橢圓的方程為．

如圖所示的“雙塔”形立體建筑，已知P-ABD和Q-CBD是兩個高相等的正三棱錐，四點A，B，C，D在同一平面內，要使塔尖P，Q之間的距離為50m，則底邊AB的長為  m．