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【題目】已知直線與橢圓相交于兩點，其中在第一象限，是橢圓上一點.

（1）記、是橢圓的左右焦點，若直線過，當到的距離與到直線的距離相等時，求點的橫坐標；

（2）若點關于軸對稱，當的面積最大時，求直線的方程；

（3）設直線和與軸分別交于，證明：為定值.

【題目】一家污水處理廠有兩個相同的裝滿污水的處理池，通過去掉污物處理污水，池用傳統工藝成本低，每小時去掉池中剩余污物的10%，池用創新工藝成本高，每小時去掉池中剩余污物的19%.

（1）池要用多長時間才能把污物的量減少一半；（精確到1小時）

（2）如果污物減少為原來的10%便符合環保規定，處理后的污水可以排入河流，若兩池同時工作，問經過多少小時后把兩池水混合便符合環保規定.（精確到1小時）

【題目】已知函數.

（1）求函數的單調區間；

（2）當函數與函數圖象的公切線l經過坐標原點時，求實數a的取值集合；

（3）證明：當時，函數有兩個零點，，且滿足.

【題目】已知數列滿足，，其中是數列的前n項和.

（1）求和的值及數列的通項公式；

（2）設.

①若，求k的值；

②求證：數列（中的任意一項總可以表示成該數列其他兩項之積.

【題目】如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”.過橢圓第一象限內一點P作x軸的垂線交其“輔圓”于點Q，當點Q在點P的上方時，稱點Q為點P的“上輔點”.已知橢圓上的點的上輔點為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若的面積等于，求上輔點Q的坐標；

（3）過上輔點Q作輔圓的切線與x軸交于點T，判斷直線PT與橢圓E的位置關系，并證明你的結論.

【題目】為響應“生產發展、生活富裕、鄉風文明、村容整潔、管理民主”的社會主義新農村建設，某自然村將村邊一塊廢棄的扇形荒地（如圖）租給蜂農養蜂、產蜜與售蜜.已知扇形AOB中，，（百米），荒地內規劃修建兩條直路AB，OC，其中點C在上（C與A，B不重合），在小路AB與OC的交點D處設立售蜜點，圖中陰影部分為蜂巢區，空白部分為蜂源植物生長區.設，蜂巢區的面積為S（平方百米）.

（1）求S關于的函數關系式；

（2）當為何值時，蜂巢區的面積S最小，并求此時S的最小值.

【題目】已知函數，（其中e為自然對數的底數），若關于x的方程恰有5個相異的實根，則實數a的取值范圍為________.

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線與曲線，（為參數）．以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．

（1）寫出曲線，的極坐標方程；

（2）在極坐標系中，已知與，的公共點分別為，，，當時，求的值．

【題目】已知橢圓C：（a＞b＞0）的兩個焦點分別為F1，F2，離心率為，過F1的直線l與橢圓C交于M，N兩點，且△MNF2的周長為8．

（1）求橢圓C的方程；

（2）若直線y＝kx＋b與橢圓C分別交于A，B兩點，且OA⊥OB，試問點O到直線AB的距離是否為定值，證明你的結論．

【題目】已知函數.

(Ⅰ) 若函數有零點, 求實數的取值范圍;

（Ⅱ） 證明: 當時, .