Question

【題目】如圖，定義：以橢圓中心為圓心，長軸為直徑的圓叫做橢圓的“輔圓”.過橢圓第一象限內一點P作x軸的垂線交其“輔圓”于點Q，當點Q在點P的上方時，稱點Q為點P的“上輔點”.已知橢圓上的點的上輔點為.

（1）求橢圓E的方程；

（2）若的面積等于，求上輔點Q的坐標；

（3）過上輔點Q作輔圓的切線與x軸交于點T，判斷直線PT與橢圓E的位置關系，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）直線PT與橢圓相切，證明見解析

【解析】

（1）根據定義直接求解即可；（2）設點，，則點，，則可得到，再根據的面積可得到，進一步與橢圓方程聯立即得解；（3）表示出直線的方程，與橢圓方程聯立，再判斷△即可得出結論．

（1）橢圓上的點的上輔點為，

輔圓的半徑為，橢圓長半軸為，

將點代入橢圓方程中，解得，

橢圓的方程為；

（2）設點，，則點，，將兩點坐標分別代入輔圓方程和橢圓方程可得，，，

故，即，

又，則，

將與聯立可解得，則，

點的坐標為；

（3）直線與橢圓相切，證明如下：

設點，，由（2）可知，，

與輔圓相切于點的直線方程為，則點，

直線的方程為：，整理得，

將與橢圓聯立并整理可得，，

由一元二次方程的判別式，可知，上述方程只有一個解，故直線與橢圓相切．