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【題目】在直角坐標系中，曲線的參數方程為（為參數），以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，直線的極坐標方程為.

（1）求的普通方程和的直角坐標方程；

（2）直線與軸的交點為，經過點的直線與曲線交于兩點，若，求直線的傾斜角.

【題目】已知函數.

（1）討論函數的極值點的個數；

（2）若有兩個極值點，證明：.

【題目】某高校健康社團為調查本校大學生每周運動的時長，隨機選取了80名學生，調查他們每周運動的總時長（單位：小時），按照共6組進行統計，得到男生、女生每周運動的時長的統計如下（表1、2），規定每周運動15小時以上（含15小時）的稱為“運動合格者”，其中每周運動25小時以上（含25小時）的稱為“運動達人”.

表1：男生

表2：女生

（1）從每周運動時長不小于20小時的男生中隨機選取2人，求選到“運動達人”的概率；

（2）根據題目條件，完成下面列聯表，并判斷能否有99%的把握認為本校大學生是否為“運動合格者”與性別有關.

參考公式：，其中.

參考數據：

【題目】已知函數,.

（1）若曲線在點處的切線斜率為，求實數的值；

（2）若在有兩個零點，求的取值范圍；

（3）當時，證明：.

【題目】設滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：①；②.

（1）若等比數列為階“期待數列”，求公比；

（2）若一個等差數列既是階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；

（3）記階“期待數列” 的前項和為，求證；數列不能為階“期待數列”.

【題目】定義：直線關于圓的圓心距單位圓心到直線的距離與圓的半徑之比.

（1）設圓，求過點的直線關于圓的圓心距單位的直線方程.

（2）若圓與軸相切于點，且直線關于圓的圓心距單位，求此圓的方程.

（3）是否存在點，使過點的任意兩條互相垂直的直線分別關于相應兩圓與的圓心距單位始終相等？若存在，求出相應的點坐標；若不存在，請說明理由.

【題目】某地擬建造一座體育館，其設計方案側面的外輪廓線如圖所示：曲線是以點為圓心的圓的一部分，其中，是圓的切線，且，曲線是拋物線的一部分，，且恰好等于圓的半徑.

（1）若米，米，求與的值；

（2）若體育館側面的最大寬度不超過75米，求的取值范圍.

【題目】已知函數.

（1）求函數在上的單調遞增區間；

（2）將函數的圖象向左平移個單位長度，再將圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的倍（縱坐標不變），得到函數的圖象.求證：存在無窮多個互不相同的整數，使得.

【題目】已知直線為公海與領海的分界線，一艘巡邏艇在原點處發現了北偏東 海面上處有一艘走私船，走私船正向停泊在公海上接應的走私海輪航行，以便上海輪后逃竄.已知巡邏艇的航速是走私船航速的2倍，且兩者都是沿直線航行，但走私船可能向任一方向逃竄.

（1）如果走私船和巡邏船相距6海里，求走私船能被截獲的點的軌跡；

（2）若與公海的最近距離20海里，要保證在領海內捕獲走私船，則，之間的最遠距離是多少海里？

【題目】數列的前n項組成集合，從集合中任取個數，其所有可能的k個數的乘積的和為（若只取一個數，規定乘積為此數本身），例如：對于數列，當時，時，；

（1）若集合，求當時，的值；

（2）若集合，證明：時集合的與時集合的（為了以示區別，用表示）有關系式，其中；

（3）對于（2）中集合.定義，求（用n表示）.