Question

【題目】設(shè)滿足以下兩個(gè)條件的有窮數(shù)列為階“期待數(shù)列”：①；②.

（1）若等比數(shù)列為階“期待數(shù)列”，求公比；

（2）若一個(gè)等差數(shù)列既是階“期待數(shù)列”又是遞增數(shù)列，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（3）記階“期待數(shù)列” 的前項(xiàng)和為，求證；數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）對(duì)是否等于1進(jìn)行討論，令解出；

（2）由得出下標(biāo)和為的兩項(xiàng)和為0，根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性得出前項(xiàng)和為，后項(xiàng)和為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)將后項(xiàng)和減去前項(xiàng)和即可得出公差與的關(guān)系，再利用求和公式得出首項(xiàng)；

（3）①根據(jù)條件①②即可得出數(shù)列的所有正項(xiàng)和為，所有負(fù)項(xiàng)和為，故而；

②由①可知的前項(xiàng)全為非負(fù)數(shù)，后面的項(xiàng)全是負(fù)數(shù)，于是的前項(xiàng)和為，故而得出，于是得出．

解：（1）若，由①得：，得，不合題意，舍去；

若，由①得：，解得．

（2）設(shè)等差數(shù)列的公差是，

因?yàn)?/span>，

，

，，，

則，．

兩式相減得：，，

又，解得，

．

（3）記中非負(fù)項(xiàng)和為，負(fù)項(xiàng)和為，

則，，得，

因?yàn)?/span>，所以.

若存在，使，

則，，，，，，，，且，

若數(shù)列是階“期待數(shù)列”，記的前項(xiàng)和為，

則，，

因?yàn)?/span>，所以，所以，，

又因?yàn)?/span>，則，

所以

所以與不能同時(shí)成立，

即數(shù)列不能為階“期待數(shù)列”.