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已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長為20的線段MN的中點P在⊙O上運動（異于A、B兩點）．
（Ⅰ）求證： $數學公式$ • $數學公式$ 與點P在⊙O上的位置無關；
（Ⅱ）當 $數學公式$ 與 $數學公式$ 的夾角θ取何值時， $數學公式$ • $數學公式$ 有最大值．

證明：（Ⅰ）∵AB為⊙O的直徑，P為圓上一點，∴AP⊥BP，
∴ $\text{[math]}$ ，則 $\text{[math]}$ ，
∵P為MN的中點，且 $\text{[math]}$ =20，∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）-100= $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -100，
∴ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 僅與 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 的夾角有關，而與點P在⊙O上的位置無關；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，
$\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ -100=100cosθ-100，
∵0≤θ＜π，∴當θ=0時， $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ 取最大值為0．
分析：（Ⅰ）由AB為⊙O的直徑得 $\text{[math]}$ ，利用向量的加法和減法運算來表示 $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ，由向量數量積的運算和條件進行化簡；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）化簡的結果和向量夾角的范圍，求出夾角的余弦值的最大值代入，求出兩個向量數量積的最大值．
點評：本題考查了利用向量的線性運算和數量積運算，進行向量式子的求值和求解，主要根據圖形的特點和條件進行轉化，進而利用條件和夾角的范圍求出式子的值．

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