Question

已知⊙O的直徑為10，AB是⊙O的一條直徑，長(zhǎng)為20的線段MN的中點(diǎn)P在⊙O上運(yùn)動(dòng)（異于A、B兩點(diǎn)）．
（Ⅰ）求證：

AM

•

BN

與點(diǎn)P在⊙O上的位置無(wú)關(guān)；
（Ⅱ）當(dāng)

MN

與

AB

的夾角θ取何值時(shí)，

AM

•

BN

有最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由AB為⊙O的直徑得

AP

•

BP

=0，利用向量的加法和減法運(yùn)算來(lái)表示

AM

•

BN

，由向量數(shù)量積的運(yùn)算和條件進(jìn)行化簡(jiǎn)；
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）化簡(jiǎn)的結(jié)果和向量夾角的范圍，求出夾角的余弦值的最大值代入，求出兩個(gè)向量數(shù)量積的最大值．

解答：證明：（Ⅰ）∵AB為⊙O的直徑，P為圓上一點(diǎn)，∴AP⊥BP，
∴

AP

⊥

BP

，則

AP

•

BP

=0，
∵P為MN的中點(diǎn)，且|

MN

|=20，∴

MP

=

PN

，

|MP|

= |

PN

|=10，
∴

AM

•

BN

=（

AP

+

PM

）（

BP

+

PN

）=（

AP

-

PN

）（

BP

+

PN

）
=

AP

•

BP

+

AP

•

PN

-

PN

•

BP

-

PN

•

PN

=

PN

（

AP

-

BP

）-100=

1

2

MN

•

AB

-100，
∴

AM

•

BN

僅與

MN

•

AB

的夾角有關(guān)，而與點(diǎn)P在⊙O上的位置無(wú)關(guān)；
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

AM

•

BN

=

1

2

MN

•

AB

-100=100cosθ-100，
∵0≤θ＜π，∴當(dāng)θ=0時(shí)，

AM

•

BN

取最大值為0．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和數(shù)量積運(yùn)算，進(jìn)行向量式子的求值和求解，主要根據(jù)圖形的特點(diǎn)和條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，進(jìn)而利用條件和夾角的范圍求出式子的值．