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科目： 來源：不詳 題型：單選題

已知f（n）=

n+1

n+2

+…+

（n∈N^*），則下列結論正確的是（　�。�

A．f（1）=

B．f（k+1）-f（k）=

3k+1

3k+2

3k+3

C．f（2）=

D．f（k+1）-f（k）=

3k+1

3k+2

3k+3

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科目： 來源：不詳 題型：解答題

設Tn=(1-

)(1-

)…(1-

)(n≥2)．
（Ⅰ）求T₂，T₃，T₄，試用n（n≥2）表示T_n的值．
（Ⅱ）用數學歸納法證明你的結論．

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科目： 來源：不詳 題型：解答題

設關于正整數n的函數f（n）=1•2²+2•3²+…n（n+1）²
（1）求f（1），f（2），f（3）；
（2）是否存在常數a，b，c使得f（n）=

n(n+1)

(an2+bn+c)對一切自然數n都成立？并證明你的結論．

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科目： 來源：不詳 題型：解答題

用數學歸納法證明對任何正整數n有

+…+

4n2-1

2n+1

．

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科目： 來源：不詳 題型：解答題

已知數列{a_n}是正數組成的數列，其前n項和為S_n，對于一切n∈N^*均有a_n與2的等差中項等于S_n與2的等比中項．
（1）計算a₁，a₂，a₃，并由此猜想{a_n}的通項公式a_n；（2）用數學歸納法證明（1）中你的猜想．

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科目： 來源：不詳 題型：解答題

證明：等式

i=1

xiyi-

i=1

xi)2

i=1

xiyi-

i=1

xi2-(

成立．

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科目： 來源：不詳 題型：解答題

數列{a_n}中，a1=-

，其前n項和S_n滿足Sn=-

Sn-1+2

（n≥2），
（1）計算S₁，S₂，S₃，S₄；
（2）猜想S_n的表達式并用數學歸納法證明．

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科目： 來源：不詳 題型：解答題

已知數列{a_n}的前n項和為Sn，a1=-

，

+Sn-1=-2(n≥2，n∈N*)．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表達式；并用數學歸納法加以證明．

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科目： 來源：不詳 題型：解答題

某學生在觀察正整數的前n項平方和公式即1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

，n∈N^*時發現它的和為關于n的三次函數，于是他猜想：是否存在常數a，b，1•2²+2•3²+…+n（n+1）²=

n(n+1)(n+2)(an+b)

．對于一切n∈N^*都立？
（1）若n=1，2時猜想成立，求實數a，b的值．
（2）若該同學的猜想成立，請你用數學歸納法證明．若不成立，說明理由．

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科目： 來源：不詳 題型：解答題

函數數列{f_n（x）}滿足：f₁（x）=

1+x2

（x＞0），f_n+1（x）=f₁[f_n（x）]．
（Ⅰ）求f₂（x），f₃（x）；
（Ⅱ）猜想f_n（x）的解析式，并用數學歸納法證明．

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