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科目: 來源:不詳 題型:填空題

已知橢圓
x2
4
+
y2
2
=1
,過程P(1,1)作直線l,與橢圓交于A,B兩點,且點P是線段AB的中點,則直線l的斜率為______.

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科目: 來源:不詳 題型:解答題

已知頂點在原點、對稱軸為坐標軸且開口向右的拋物線過點M(4,-4).
(1)求拋物線的方程;
(2)過拋物線焦點F的直線l與拋物線交于不同的兩點A、B,若|AB|=8,求直線l的方程.

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科目: 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓C:
x2
a2
+
y2
b2
=1
(a>b>0)的離心率e=
1
2
,短軸長為2
3

(1)求橢圓C的方程;
(2)從定點M(0,2)任作直線l與橢圓C交于兩個不同的點A、B,記線段AB的中點為P,試求點P的軌跡方程.

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科目: 來源:不詳 題型:解答題

已知A、B是橢圓
x2
4
+
y2
3
=1
的左、右頂點,橢圓上異于A、B的兩點C、D和x軸上一點P,滿足
AP
=
1
3
AD
+
2
3
AC

(1)設△ADP、△ACP、△BCP、△BDP的面積分別為S1、S2、S3、S4,求證:S1S3=S2S4
(2)設P點的橫坐標為x0,求x0的取值范圍.

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科目: 來源:不詳 題型:解答題

已知離心率為
6
3
的橢圓E:
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
與圓C:x2+(y-3)2=4交于A,B兩點,且∠ACB=120°,C在AB上方,如圖所示,
(1)求橢圓E的方程;
(2)是否存在過交點B,斜率存在且不為0的直線l,使得該直線截圓C和橢圓E所得的弦長相等?若存在,求出直線l的方程;若不存在,說明理由.

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科目: 來源:不詳 題型:解答題

已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,離心率為
3
2
,長軸長為4
5
,直線l:y=x+m交橢圓于不同的兩點A,B.
(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍;
(3)若直線l不經過橢圓上的點M(4,1),求證:直線MA,MB的斜率互為相反數.

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科目: 來源:不詳 題型:解答題

直線L:y=kx+1與橢圓C:ax2+y2=2(a>1)交于A、B兩點,以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB(O為坐標原點).
(1)若k=1,且四邊形OAPB為矩形,求a的值;
(2)若a=2,當k變化時(k∈R),求點P的軌跡方程.

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科目: 來源:不詳 題型:解答題

已知O為坐標原點,F為橢圓C:x2+
y2
2
=1
在y軸正半軸上的焦點,過F且斜率為-
2
的直線l與C交于A、B兩點,點P滿足
OA
+
OB
+
OP
=
0

(Ⅰ)證明:點P在C上;
(Ⅱ)設點P關于點O的對稱點為Q,證明:A、P、B、Q四點在同一圓上.

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科目: 來源:不詳 題型:解答題

已知p:方程
x2
k-4
+
y2
k-6
=1
表示雙曲線,q:過點M(2,1)的直線與橢圓
x2
5
+
y2
k
=1
恒有公共點,若p∧q為真命題,求k的取值范圍.

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科目: 來源:不詳 題型:解答題

已知拋物線C:y2=4x的準線與x軸交于M點,過M點斜率為k的直線l與拋物線C交于A、B兩點(A在M、B之間).
(1)F為拋物線C的焦點,若|AM|=
5
4
|AF|,求k的值;
(2)如果拋物線C上總存在點Q,使得QA⊥QB,試求k的取值范圍.

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