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已知各項均為正數的數列滿足：。
（1）求的通項公式
（2）當時，求證：

已知數列滿足,且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和；
（3）設，記，證明：.

對于無窮數列和函數，若，則稱是數列的母函數.
（Ⅰ）定義在上的函數滿足：對任意，都有，且；又數列滿足：.
求證：(1)是數列的母函數；
(2)求數列的前項和.
（Ⅱ）已知是數列的母函數，且.若數列的前項和為，求證：.

已知數列的前項和，
(Ⅰ)求的通項公式；
(Ⅱ) 令，求數列的前項和．

數列滿足，（），是常數．
（Ⅰ）當時，求及的值；
（Ⅱ）數列是否可能為等差數列？若可能，求出它的通項公式；若不可能，說明理由．

已知數列是等差數列，
（1）判斷數列是否是等差數列，并說明理由；
（2）如果，試寫出數列的通項公式；
（3）在（2）的條件下，若數列得前n項和為，問是否存在這樣的實數，使當且僅當時取得最大值。若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由。

已知數列的前項和是二項式展開式中含奇次冪的系數和．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求的值．

已知數列，滿足：．
（1）若，求數列的通項公式；
（2）若，且．
① 記，求證：數列為等差數列；
② 若數列中任意一項的值均未在該數列中重復出現無數次，求首項應滿足的條件．

在數列中，是數列前項和，，當
（1）證明為等差數列；；
（2）設求數列的前項和；
（3）是否存在自然數m，使得對任意自然數，都有成立？若存在，
求出m 的最大值；若不存在，請說明理由。

已知公差不為零的等差數列的前四項和為10，且成等比數列
（1）求通項公式（2）設，求數列的前項和