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數列{}的前n項和為，．
（Ⅰ）設，證明：數列是等比數列；
（Ⅱ）求數列的前項和；
（Ⅲ）若，．求不超過的最大整數的值.

數列{}的前n項和為，．
（Ⅰ）設，證明：數列是等比數列；
（Ⅱ）求數列的前項和；
（Ⅲ）若，數列的前項和，證明：．

設無窮等比數列的公比為q，且，表示不超過實數的最大整數（如）,記，數列的前項和為，數列的前項和為.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）證明： （）的充分必要條件為；
（Ⅲ）若對于任意不超過的正整數n，都有，證明：.

設無窮等比數列的公比為q，且，表示不超過實數的最大整數（如）,記，數列的前項和為，數列的前項和為.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若對于任意不超過的正整數n，都有，證明：.
（Ⅲ）證明：（）的充分必要條件為.

等比數列的前項和，已知，，，成等差數列.
（1）求數列的公比和通項；
（2）若是遞增數列，令，求.

已知數列的前n項和為,
(1)求證：數列為等差數列；
(2)設數列的前n項和為T_n，求T_n．

設正項數列a_n為等比數列,它的前n項和為S_n,a₁=1,且.
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ)已知是首項為1,公差為2的等差數列,求數列的前n項和T_n．

各項均為正數的等比數列中，
（Ⅰ）求數列通項公式；
（Ⅱ）若等差數列滿足，求數列的前項和。

稱滿足以下兩個條件的有窮數列為階“期待數列”：
①；②.
（1）若數列的通項公式是，
試判斷數列是否為2014階“期待數列”，并說明理由；
（2）若等比數列為階“期待數列”，求公比q及的通項公式；
（3）若一個等差數列既是階“期待數列”又是遞增數列，求該數列的通項公式；

數列的首項為（），前項和為，且（）．設，（）．
（1）求數列的通項公式；
（2）當時，若對任意，恒成立，求的取值范圍；
（3）當時，試求三個正數，，的一組值，使得為等比數列，且，，成等差數列．