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（14分）（2011•天津）已知數列{a_n}與{b_n}滿足b_n+1a_n+b_na_n+1=（﹣2）ⁿ+1，b_n=，n∈N^*，且a₁=2．
（Ⅰ）求a₂，a₃的值
（Ⅱ）設c_n=a_2n+1﹣a_2n﹣1，n∈N^*，證明{c_n}是等比數列
（Ⅲ）設S_n為{a_n}的前n項和，證明++…++≤n﹣（n∈N^*）

（12分）（2011•重慶）設實數數列{a_n}的前n項和S_n滿足S_n+1=a_n+1S_n（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，S₂，﹣2a₂成等比數列，求S₂和a₃．
（Ⅱ）求證：對k≥3有0≤a_k≤．

若數列滿足條件：存在正整數，使得對一切都成立，則稱數列為級等差數列．
（1）已知數列為2級等差數列，且前四項分別為，求的值；
（2）若為常數），且是級等差數列，求所有可能值的集合，并求取最小正值時數列的前3項和；
（3）若既是級等差數列，也是級等差數列，證明：是等差數列．

若正項數列滿足條件：存在正整數，使得對一切都成立，則稱數列為級等比數列．
（1）已知數列為2級等比數列，且前四項分別為，求的值；
（2）若為常數），且是級等比數列，求所有可能值的集合，并求取最小正值時數列的前項和；
（3）證明：為等比數列的充要條件是既為級等比數列，也為級等比數列．

已知等比數列中，，前項和是前項中所有偶數項和的倍．
（1）求通項；
（2）已知滿足，若是遞增數列，求實數的取值范圍．

已知在數列{}中，
（1）求證：數列{}是等比數列，并求出數列{}的通項公式；
（2）設數列{}的前竹項和為S_n，求S_n．

已知等比數列滿足：，公比，數列的前項和為，且.
（1）求數列和數列的通項和；
（2）設，證明：.

已知數列的前項和和通項滿足。
（1）求數列的通項公式；
（2）若數列滿足，求證：

已知數列和滿足：，其中為實數，為正整數.
（1）對任意實數，求證：不成等比數列；
（2）試判斷數列是否為等比數列，并證明你的結論.

甲、乙兩容器中分別盛有兩種濃度的某種溶液，從甲容器中取出溶液，將其倒入乙容器中攪勻，再從乙容器中取出溶液，將其倒入甲容器中攪勻，這稱為是一次調和，已知第一次調和后，甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：，，第次調和后的甲、乙兩種溶液的濃度分別記為：、.
（1）請用、分別表示和；
（2）問經過多少次調和后，甲乙兩容器中溶液的濃度之差小于.