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已知數列{a_n}是等差數列，數列{b_n}是等比數列，且對任意的n∈N*，都有a₁b₁＋a₂b₂＋a₃b₃＋···＋a_nb_n＝n·2ⁿ⁺³．
（1）若{b_n}的首項為4，公比為2，求數列{a_n＋b_n}的前n項和S_n；
（2）若a₁＝8．
①求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
②試探究：數列{b_n}中是否存在某一項，它可以表示為該數列中其它r（r∈N，r≥2）項的和？若存在，請求出該項；若不存在，請說明理由．

如圖所示的兩個同心圓盤均被等分（且），在相重疊的扇形格中依次同時填上，內圓盤可繞圓心旋轉，每次可旋轉一個扇形格，當內圓盤旋轉到某一位置時，定義所有重疊扇形格中兩數之積的和為此位置的“旋轉和”.
（1）求個不同位置的“旋轉和”的和；
（2）當為偶數時，求個不同位置的“旋轉和”的最小值；
（3）設，在如圖所示的初始位置將任意對重疊的扇形格中的兩數均改寫為0，證明：當時，通過旋轉，總存在一個位置，任意重疊的扇形格中兩數不同時為0.

已知正項數列{a_n}中,a₁=1,且log₃a_n,log₃a_n+1是方程x²(2n1)x+b_n=0的兩個實根.
（1）求a₂,b₁;
（2）求數列{a_n}的通項公式;
（3）若,是前項和, ,當時,試比較與的大小.

已知數列的前項和為，數列是公比為的等比數列，是和的等比中項.
（1）求數列的通項公式；
（2）求數列的前項和.

已知數列的前項和.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．

已知數列的前項和為，且.
（1）求數列的通項公式；
（2）設，求數列的前項和．

如果數列滿足：且，則稱數列為階“歸化數列”．
（1）若某4階“歸化數列”是等比數列，寫出該數列的各項；
（2）若某11階“歸化數列”是等差數列，求該數列的通項公式；
（3）若為n階“歸化數列”，求證：．

設數列是公比大于1的等比數列，為數列的前項和，已知，且構成等差數列.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，求數列的前項的和.

在數列中，
（1）若數列是等比數列， 求實數；
（2）求數列的前項和.

已知函數，數列的前項和為，點均在函數的圖象上.
（1）求數列的通項公式；
（2）令，證明：.