【題目】（2017貴州省遵義市）如圖，拋物線
（a＜0，a、b為常數）與x軸交于A、C兩點，與y軸交于B點，直線AB的函數關系式為
．
（1）求該拋物線的函數關系式與C點坐標；
（2）已知點M（m，0）是線段OA上的一個動點，過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，當m為何值時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形？
（3）在（2）問條件下，當△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形時，動點M相應位置記為點M′，將OM′繞原點O順時針旋轉得到ON（旋轉角在0°到90°之間）；
①探究：線段OB上是否存在定點P（P不與O、B重合），無論ON如何旋轉，
始終保持不變，若存在，試求出P點坐標；若不存在，請說明理由；
②試求出此旋轉過程中，（NA+
NB）的最小值．
【答案】（1）
，C（1，0）；（2）m=﹣4；（3）①存在，P（0，3）；②
．
【解析】試題分析：（1）根據已知條件得到B，A的坐標，解方程組得到拋物線的函數關系式，令y=0，于是得到C的坐標；
（2）由點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，得到D（m，
），當DE為底時，作BG⊥DE于G，根據等腰三角形的性質得到EG=GD=
ED，GM=OB=
，列方程即可得到結論；
（3）①根據已知條件得到ON=OM′=4，OB=，由∠NOP=∠BON，特殊的當△NOP∽△BON時，根據相似三角形的性質得到
，于是得到結論；
②根據題意得到N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由①知，
，得到NP=
NB，于是得到（NA+NB）的最小值=NA+NP，此時N，A，P三點共線，根據勾股定理得到結論．
試題解析：（1）在
中，令x=0，則y=，令y=0，則x=﹣6，
∴B（0，），A（﹣6，0），
把B（0，），A（﹣6，0）代入
得：
，
∴
，
∴拋物線的函數關系式為：，
令y=0，則=0，
∴x1=﹣6，x2=1，
∴C（1，0）；
（2）∵點M（m，0），過點M作x軸的垂線l分別與直線AB和拋物線交于D、E兩點，
∴D（m，），
當DE為底時，作BG⊥DE于G，則EG=GD=ED，GM=OB=，
∴
=，解得：m1=﹣4，m2=9（不合題意，舍去），
∴當m=﹣4時，△BDE恰好是以DE為底邊的等腰三角形；
（3）①存在，
∵ON=OM′=4，OB=，
∵∠NOP=∠BON，
∴當△NOP∽△BON時，，
∴
不變，即OP=
=3，
∴P（0，3）；
②∵N在以O為圓心，4為半徑的半圓上，由①知，，
∴NP=NB，
∴（NA+NB）的最小值=NA+NP，
∴此時N，A，P三點共線，
∴（NA+NB）的最小值=
=．
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【題目】如圖，在直角坐標系中，OA=3，OC=4
，點B是y軸上一動點，以AC為對角線作平行四邊形ABCD.
（1）求直線AC的函數解析式；
（2）設點
，記平行四邊形ABCD的面積為
，請寫出
與
的函數關系式，并求當BD取得最小值時，函數
的值；
（3）當點B在y軸上運動，能否使得平行四邊形ABCD是菱形？若能，求出點B的坐標；若不能，說明理由.
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【題目】如圖，已知矩形OABC中，OA=2，AB=4，雙曲線
（k＞0）與矩形兩邊AB、BC分別交于E、F.
（1）若E是AB的中點，求F點的坐標；
（2）若將△BEF沿直線EF對折，B點落在x軸上的D點，作EG⊥OC，垂足為G，請證明△EGD∽△DCF，并求出k的值.
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【題目】我市某中學為了解孩子們對《地理中國》 《最強大腦》 《挑戰不可能》 《超級演說家》 《中國詩詞大會》五種電視節目的喜愛程度，隨機在七、八、九年級抽取了部分學生進行調查（每人只能選擇一種喜愛的電視節目），并將獲得的數據進行整理，繪制出以下兩幅不完整的統計圖，請根據兩幅統計圖中的信息回答下列問題：
（1）本次調查共抽取了_________________名學生。
（2）補全條形統計圖。
（3）在扇形統計圖中，喜愛《地理中國》節目的人數所在的扇形的圓心角是__________度。
（4）若該校有1500名學生，請估計喜愛《最強大腦》節目的學生有多少人？
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【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y＝kx＋b(k≠0)的圖象與反比例函數y＝
(m≠0)的圖象交于第二、四象限內的A、B兩點，與x軸交于C點，點B的坐 標為(6，n)．線段OA＝5，E為x軸上一點，且sin ∠AOE＝
．
【1】求該反比例函數和一次函數的解析式
【2】求△AOC的面積
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【題目】如下圖所示,小麗用棋子擺成三角形的圖案,觀察下面圖案并填空:
按照這樣的方式擺下去，擺第5個三角形圖案需要_____________枚棋子；擺第n個三角形圖案需要_________枚棋子(用含有n的代數式表示)；擺第99個三角形圖案需要_______枚棋子.
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【題目】如圖，等腰三角形ABC的底邊BC長為4，腰AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F點．若點D為BC邊的中點，點M為線段EF上一動點，若△CDM周長的最小值為8，則△ABC的面積為（ ）
A.12B.16C.24D.32
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