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已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點分別為F₁，F₂，點M(0，2)是橢圓的一個頂點，△F₁MF₂是等腰直角三角形．

(Ⅰ)求橢圓C的方程；

(Ⅱ)過點M分別作直線MA，MB交橢圓于A，B兩點，設兩直線的斜率分別為k₁，k₂，且k₁＋k₂＝8，探究：直線AB是否過定點，并說明理由．

設函數f(x)＝(x²＋ax＋a)e^－x，其中x∈R，a是實常數，e是自然對數的底．

(1)確定a的值，使f(x)的極小值為0；

(2)討論關于x的方程f(x)＋(x)＝2xe^－x＋x^－2(x≠0)的實數根的個數．

已知函數f(x)的圖象在[a，b]上連續不斷，定義：

，

其中，min{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在區間上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數f(x)在區間上的最大值．若存在最小正整數k，使得f₂(x)－f₁(x)≤k(x－a)對任意的x∈[a，b]成立，則稱函數為區間[a，b]上的“k階收縮函數”．

(1)若f(x)＝cosx，x∈[0，π]，試寫出f₁(x)，f₂(x)的表達式；

(2)已知函數f(x)＝x²，x∈[－1，4]，試判斷f(x)是否為[－1，4]上的“k階收縮函數”，如果是，求出相應的k；如果不是，請說明理由；

(3)已知b＞0函數f(x)＝－x³＋3x²是[0，b]上的2階收縮函數，求b的取值范圍．

已知函數

(1)若曲線y＝f(x)在點P(1，f(1))處的切線與直線y＝x＋2垂直，求函數y＝f(x)的單調區間；

(2)若對，都有恒成立，試求實數a的取值范圍；

(3)記g(x)＝f(x)＋x－b，當a＝1時，函數g(x)在區間[e^－1，e]上有兩個零點，求實數b的取值范圍(e為自然對數的底數)．

(理)已知函數．

(Ⅰ)若函數有區間上存在極值(a＞0)，求實數a的取值范圍；

(Ⅱ)如果當x≥1，不等式恒成立，求實數k的取值范圍；

(Ⅲ)求證：[(n＋1)！]²＞(n＋1)·e^n－2(n∈N^*)．

已知a∈R，函數f(x)＝x³－3x²＋3ax－3a＋3

(Ⅰ)求曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程；

(Ⅱ)當x∈[0，2]時，求|f(x)|的最大值．

如圖，已知橢圓C₁與C₂的中心在坐標原點O，長軸均為MN且在x軸上，短軸長分別為2m，2n(m＞n)，過原點且不與x軸重合的直線l與C₁，C₂的四個交點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D．記λ＝，△BDM和△ABN的面積分別為S₁和S₂．

(Ⅰ)當直線l與y軸重合時，若S₁＝λS₂，求λ的值；

(Ⅱ)當λ變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線l，使得S₁＝λS₂？并說明理由．

設a＞0，b＞0，已知函數f(x)＝．

(Ⅰ)當a≠b時，討論函數f(x)的單調性；

(Ⅱ)當x＞0時，稱f(x)為a、b關于x的加權平均數．

(ⅰ)判斷f(1)，f()，f()是否成等比數列，并證明f()≤f()；

(ⅱ)a、b的幾何平均數記為G．稱為a、b的調和平均數，記為H．

若H≤f(x)≤G，求x的取值范圍．