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已知函數f(x)＝log₂(1＋x)＋alog₂(1－x)(a∈R)．

(1)若f(x)關于原點對稱，求a的值；(2)在(1)下，解關于x的不等式f^－1(x)＞m(m∈R)．

定義F(x，y)＝(1＋x)^y，x，y∈(0，＋∞)．

(1)令函數f(x)＝F(1，log₂(x³＋ax²＋bx＋1))的圖象為曲線C，若存在實數b使得曲線C在x₀(－4＜x₀＜－1)處有斜率為－8的切線，求實數a的取值范圍；

(2)令函數g(x)＝F(1，log₂[(lnx－1)e^x＋x])，是否存在實數x₀∈[1，e]，使曲線y＝g(x)在點x＝x₀處的切線與y軸垂直？若存在，求出x₀的值；若不存在，請說明理由；

(3)當x，y∈N*，且x＜y時，求證：F(x，y)＞F(y，x)．

已知函數f(x)＝(a²＋8)e^x，函數g(x)＝(x²＋ax－2a－3)e^3－x．

(1)若a＝0，求g(x)的單調遞增區間；

(2)若a＞0，且存在ξ₁，ξ₂∈[0，4]使得| f(ξ₁)－g(ξ₂)|_min＜3，求實數a的取值范圍．

已知函數f(x)＝lnx，g(x)＝ax²＋bx(a≠0)．

(1)若a＝－2時，函數h(x)＝f(x)－g(x)在其定義域上是增函數，求b的取值范圍；

(2)設函數f(x)的圖象C₁與函數g(x)的圖象C₂交于P、Q，過線段PQ的中點R作x軸的垂線分別交C₁、C₂于點M、N，問是否存在點R，使C₁在M處的切線與C₂在N處的切線平行？若存在，求出R的橫坐標；若不存在，請說明理由．

在平面直角坐標系xOy中，經過點且斜率為k的直線l與橢圓有兩上不同的交點P和Q．

(1)求k的取值范圍；

(2)設橢圓與x軸正半軸、y軸正半軸的交點分別為A，B，是否存在常數k，使得向量共線？如果存在，求k的值；如果不存在，請說明理由．

某企業用49萬元引進一條年產值25萬元的生產線，為維持該生產線正常運轉，第一年需各種費用6萬元，從第二年開始包括維修費用在內，每年所需費用均比上一年增加2萬元．

(1)該生產線第幾年開始盈利(即總收入減去成本及所需費用之差為正值？)

(2)該生產線生產若干年后，處理方案有兩種：①年平均盈利達到最大值時，以18萬元的價格賣出；②盈利總額達到最大值時，以9萬元的價格賣出，問那一種方案較為合理，請說明理由．

已知函數f(x)＝＋lnx．

(Ⅰ)若函數f(x)在[1，＋∞)上是增函數，求正實數a的取值范圍；

(Ⅱ)若a＝1，k∈R且k＜，設F(x)＝f(x)＋(k－1)lnx，求函數F(x)在[，e]上的最大值和最小值．

已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦點F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|最小值為2．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)若圓：x²＋y²＝的切線l與橢圓E相交于P，Q兩點，當P，Q兩點橫坐標不相等時，問：OP與OQ是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

已知橢圓E：的右焦點F，過原點和x軸不重合的直線與橢圓E相交于A，B兩點，且|AF|＋|BF|＝2，|AB|最小值為2．

(Ⅰ)求橢圓E的方程；

(Ⅱ)若圓：x²＋y²＝的切線l與橢圓E相交于P，Q兩點，當P，Q兩點橫坐標不相等時，問：OP與OQ是否垂直？若垂直，請給出證明；若不垂直，請說明理由．

已知函數f₁(x)＝x，f₂(x)＝x²，f₃(x)＝x³，f₄(x)＝sinx，f₅(x)＝cosx，f₆(x)＝lg(|x|＋1)，將它們分別寫在六張卡片上，放在一個盒子中，

(Ⅰ)現從盒子中任取兩張卡片，將卡片上的函數相加得到一個新函數，求所得的函數是奇函數的概率；

(Ⅱ)從盒子中任取兩張卡片，已知其中一張卡片上的函數為奇函數，求另一張卡片上的函數也是奇函數的概率；

(Ⅲ)現從盒子中逐一抽取卡片，且每次取出后均不放回，若取到一張記有偶函數的卡片則停止抽取，否則繼續進行，求抽取次數恰好為3次的概率．