Question

（2002•上海）已知z、ω為復數，（1+3i）z為純虛數，ω=

z

2+i

，且|ω|=5

2

，求ω．

Answer 1

分析：設z=m+ni（m，n∈R），代入（1+3i）z，由純虛數概念可得m-3n=0①，代入ω=

z

2+i

，由|ω|=5

2

可得m²+n²=250②，聯立可求得m，n，再代入可得ω．

解答：解：設z=m+ni（m，n∈R），
因為（1+3i）z=（1+3i）（m+ni）=m-3n+（3m+n）i為純虛數，
所以m-3n=0①，
ω=

z

2+i

=

m+ni

2+i

=

(2m+n)+(2n-m)i

5

，
由|ω|=5

2

，得

(2m+n)2

25

+

(2n-m)2

25

=(5

2

)2，即m²+n²=250②
由①②解得

m=15 n=5

或

m=-15 n=-5

，
代入ω=

(2m+n)+(2n-m)i

5

可得，ω=±（7-i）．

點評：本題考查復數代數形式的運算、復數的基本概念，屬中檔題．