Question

已知{a_n}是單調遞增的等差數列，首項a₁=3，前n項和為S_n；數列{b_n}是等比數列，首項b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（1）求{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）令cn=Sncos(

an

3

π)(n∈N+)，求{c_n}的前20項和T₂₀．

Answer 1

分析：（1）根據題意，設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，由已知條件a₂b₂=12，S₃+b₂=20，可得關于d、q的方程組，求解可得d、q的值，結合等比等差數列的通項公式，可得答案；
（2）將{a_n}的通項公式代入cn=Sncos(

an

3

π)(n∈N+)，討論n的奇偶，再根據等差數列的求和公式解之即可．

解答：解：（1）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，
則a₂b₂=（3+d）q=12，①
∵S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=9+3d+q=20，
∴3d+q=11，變形可得q=11-3d，②
代入①可得：（3+d）（11-d）=33+2d-3d²=12，
即3d²-2d-21=0，則（3d+7）（d-3）=0，
又由{a_n}是單調遞增的等差數列，有d＞0，則d=3，
∴q=11-3d=2，
∴a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1，
（2）cn=Sncosnπ=

Sn n是偶 -Sn， n是奇

，

T20=c1+c2+c3+…+c20=-S 1+S2-S 3+S4-…-S19+S20 =a2+a4+a6+…+a20=6+12+18+…+60=330

點評：本題綜合考查等比、等差數列，涉及數列的求和，解題的關鍵在于分析發現S_n與c_n的關系，轉化來求出答案，注意要分n為奇數與偶數2種情況進行討論．屬于中檔題．