Question

已知{a_n}是單調遞增的等差數列，首項a₁=3，前n項和為S_n，數列{b_n}是等比數列，首項b₁=1，且a₂b₂=12，S₃+b₂=20．
（Ⅰ）求{a_n}和{b_n}的通項公式．
（Ⅱ）令C_n=S_ncos（a_nπ）（n∈N⁺），求{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據題意，設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，由已知條件a₂b₂=12，S₃+b₂=20，可得關于d、q的方程組，求解可得d、q的值，結合等比等差數列的通項公式，可得答案；
（Ⅱ）由（Ⅰ）的結論，可得C_n的表達式，即cn=Sncos3nπ=

Sn= 3 2 n2+ 3 2 n n是偶 -Sn=- 3 2 n2- 3 2 n n是奇

，分n為奇數與偶數兩種情況討論，計算可得答案．

解答：解：（Ⅰ）設{a_n}的公差為d，{b_n}的公比為q，
則a₂b₂=（3+d）q=12，①
S₃+b₂=3a₂+b₂=3（3+d）+q=9+3d+q=20，即3d+q=11，
變形可得q=11-3d，②
代入①可得：（3+d）（11-d）=33+2d-3d²=12，
3d²-2d-21=0，
（3d+7）（d-3）=0，
又由{a_n}是單調遞增的等差數列，有d＞0．
則d=3，
q=11-3d=2，
a_n=3+（n-1）×3=3n，b_n=2^n-1…（6分）
（Ⅱ） cn=Sncos3nπ=

Sn= 3 2 n2+ 3 2 n n是偶 -Sn=- 3 2 n2- 3 2 n n是奇

…（9分）
當n是偶數，T_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n=-S₁+S₂-S₃+S₄-…-S_n-1+S_n
=a2+a4+a6+…+an=6+12+18+…+3n=

3n(n+2)

4

…（10分）
當n是奇數，Tn=Tn-1-Sn=

3(n-1)(n+1)

4

-

3

2

n2-

3

2

n=-

3

4

(n+1)2
綜上可得Tn=

3n(n+2) 4 n是偶 - 3 4 (n+1)2 n是奇

…（13分）

點評：本題綜合考查等比、等差數列，涉及數列的求和；解（Ⅱ）題的關鍵在于分析發現T_n與C_n的關系，轉化來求出答案，注意要分n為奇數與偶數2種情況進行討論．