Question

已知函數.

（I）求證：不論為何實數總是為增函數；

（II）確定的值, 使為奇函數；

（Ⅲ）當為奇函數時, 求的值域.

 

Answer 1

【答案】

(1) 見解析；(2)  ；（3）的值域為

【解析】本小題主要考查函數單調性的應用、函數奇偶性的應用、不等式的解法等基礎知識，考查運算求解能力與化歸與轉化思想．屬于基礎題．

（1）先設x₁＜x₂，欲證明不論a為何實數f（x）總是為增函數，只須證明：f（x₁）-f（x₂）＜0，即可；

（2）根據f（x）為奇函數，利用定義得出f（-x）=-f（x），從而求得a值即可；

（3）由（2）知f(x)=利用指數函數2^x的性質結合不等式的性質即可求得f（x）的值域．

解: (1) 依題設的定義域為       ……1分

原函數即   ，設,

則=,……2分

, ,

即,所以不論為何實數總為增函數.     ……5分

(2) 為奇函數, ,即,

        則，

          ……10分

（3）由(2)知, ,,

      

       所以的值域為    ……14分