Question

已知=（0，-2），=（0，2）,其中O為坐標原點.直線l:y=-2,動點P到直線l的距離為d,且d=||.

（1）求動點P的軌跡方程；

（2）直線m:y=x+1(k＞0)與點P的軌跡交于M，N兩點，當·≥17時，求直線m的傾斜角α的范圍;

（3）設直線h與點P的軌跡交于C，D兩點，若·=-12，那么直線h一定過B點嗎？請說明理由.

Answer 1

解:(1)由題意知，動點P到直線l的距離與到定點B的距離相等,所以P的軌跡是以B為焦點，l為準線的拋物線，其軌跡方程為x²=8y.

(2)由消去y,得x²-8x-8=0,設M(x₁,y₁),N(x₂,y₂),

Δ=64k+32＞0,k＞,x₁+x₂=8,x₁x₂=-8,y₁+y₂=x₁+1+kx₂+1=8k+2,y₁y₂=(kx₁+1)(kx₂+1)=

1,·=x₁x₂+y₁y₂+2(y₁+y₂)+4=16k+1≥17,k≥1

因為tanα≥1且0≤α＜180°

所以≤α＜.所以直線 m的傾斜角的范圍為{α|≤α＜}.

(3)設h:y=nx+b,代入x²=8y中，得x²-8nx-8b=0.設C(x₃,y₃),D(x₄,y₄).x₃+x₄=8n,x₃x₄=-8b,y₃+y₄=8n²+2b,y₃·y₄=b²,

·=x₃x₄+y₃y₄=b²-8b=-12,得b=2或b=6.此時直線過點(0，2)或(0，6)，故直線不一定過B點.