Question

已知函數f(x)=alnx-x+

a-1

x

．
（Ⅰ）若a=4，求f（x）的極值；
（Ⅱ）若f（x）在定義域內無極值，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）求導數，利用導數的正負，可得函數f（x）的單調區間，進而得到f（x）的極值；
（Ⅱ）由于f（x）在定義域內無極值，則f′（x）≥0或f′（x）≤0在定義域上恒成立，進而得到a滿足的條件．

解答：解：（Ⅰ）∵a=4，∴f(x)=4lnx-x+

3

x

，(x＞0)
f′(x)=

4

x

-1-

3

x2

=

-x2+4x-3

x2

令f′（x）=0，解得x=1或x=3．
當0＜x＜1或x＞3時，f′（x）＜0
當1＜x＜3時，f′（x）＞0
又∵f（1）=2，f（3）=4ln3-2
∴f（x）取得極小值2，極大值4ln3-2．
（Ⅱ）f(x)=alnx-x+

a-1

x

，(x＞0)
f′(x)=

a

x

-1-

a-1

x2

=

-x2+ax-(a-1)

x2

=-

[x-(a-1)](x-1)

x2

令f′（x）=0，x=a-1或x=1
∵f（x）在定義域內無極值，
∴f′（x）≥0或f′（x）≤0在定義域上恒成立．
∴a-1=1，解得a=2
故實數a的取值范圍為a=2．

點評：本題考查函數的單調性，考查導數知識的運用，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．