Question

已知橢圓C的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率．直線l：x-2y+2=0與橢圓C相交于E、F兩點，且．
（1）求橢圓C的方程；
（2）點P（-2，0），A、B為橢圓C上的動點，當PA⊥PB時，求證：直線AB恒過一個定點．并求出該定點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出橢圓方程，E，F的坐標，根據離心率設，則b可求得，把直線方程與橢圓方程聯立根據判別式求得t的范圍．根據線段EF的距離求得t，則橢圓方程可得．
（2）當直線l不垂直于x軸時，設AB：y=kx+mA（x₁，y₁）B（x₂，y₂），與橢圓方程聯立，根據=0求得m，分別代入直線方程即可求得直線恒過的點．進而再看當直線l垂直于x軸時，可求得A，B的坐標，代入=0符合題意．綜合答案可得．
解答：解：（1）設橢圓方程為（a＞b＞0），E（x₁，y₁）F（x₂，y₂）令則b=t
∴
由得：2y²-2y+1-t²=0
△=4-4×2（1-t²）＞0∴，
∴t²=1
橢圓C的方程是：
（2）當直線l不垂直于x軸時，設AB：y=kx+mA（x₁，y₁）B（x₂，y₂）得（1+4k²）x²+8kmx+4（m²-1）=0=
∴12k²+5m²-16km=0（6k-5m）（2k-m）=0
∴
當時，恒過定點
當m=2k時，AB：y=kx+2k恒過定點（-2，0），不符合題意舍去
當直線l垂直于x軸時，若直線AB：則AB與橢圓C相交于，
∴
∵PA⊥PB，滿足題意
綜上可知，直線AB恒過定點，且定點坐標為
點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．注意討論直線斜率存在和不存在兩種情況．