Question

（本小題滿分12分）

如圖，正三棱柱ABC—A₁B₁C₁的底面邊長為a，點M在邊 BC上，△AMC₁是以點M為直角頂點的等腰直角三角形。

   （Ⅰ）求證點M為邊BC的中點；

   （Ⅱ）求點C到平面AMC₁的距離；

   （Ⅲ）求二面角M—AC₁—C的大小。

Answer 1

（Ⅰ）∵△AMC₁為以點M為直角頂點的等腰直角三角形，

       ∴AM⊥C₁M且AM=C₁M

       ∵三棱柱ABC—A₁B₁C₁，∴CC₁⊥底面ABC

       ∴C₁M在底面內射影為CM，AM⊥CM。

       ∵底面ABC為邊長為a的正三角形，

       ∴點M為BC邊的中點         --------------------4分

   （Ⅱ）過點C作CH⊥MC₁，由（Ⅰ）知AM⊥C₁M且AM⊥CM，

       ∴AM⊥平面C₁CM      ∵CH在平面C₁CM內，∴CH⊥AM，

       ∴CH⊥平面C₁AM

       由（Ⅰ）知，

       ∴∴

       ∴點C到平面AMC₁的距離為底面邊長為-------------------8分

   （Ⅲ）過點C作CI⊥AC₁于I，連HI，∵CH⊥平面C₁AM，

       ∴HI為CI在平面C₁AM內的射影，

       ∴HI⊥AC₁，∠CIH是二面角M—AC₁—C的平面角，

       在直角三角形ACC₁中

       ，

       ∴∠CIH=45°，   ∴二面角M—AC₁—C的大小為45°