Question

19．隨著社會的發(fā)展，終身學習成為必要，工人知識要更新，學習培訓必不可少，現某工廠有工人1000名，其中250名工人參加過短期培訓（稱為A類工人），另外750名工人參加過長期培訓（稱為B類工人），從該工廠的工人中共抽查了100名工人，調查他們的生產能力（此處生產能力指一天加工的零件數）得到A類工人生產能力的莖葉圖（圖1），B類工人生產能力的頻率分布直方圖（圖2）．

（Ⅰ）問A類、B類工人各抽查了多少工人，并求出直方圖中的x；
（Ⅱ）求A類工人生產能力的中位數，并估計B類工人生產能力的平均數（同一組中的數據用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（Ⅲ） 若規(guī)定生產能力在[130，150]內為能力優(yōu)秀，由以上統(tǒng)計數據在答題卡上完成下面的2×2列聯表，并判斷是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為生產能力與培訓時間長短有關．
能力與培訓時間列聯表

	短期培訓	長期培訓	合計
能力優(yōu)秀	8	54	62
能力不優(yōu)秀	17	21	38
合計	25	75	100

參考數據：

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

參考公式：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$，其中n=a+b+c+d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由莖葉圖知A類工人中抽查人數為25名，B類工人中應抽查100-25=75，由頻率分布直方圖求出x；
（Ⅱ）由莖葉圖知A類工人生產能力的中位數為122，由（Ⅰ）及頻率分布直方圖，估計B類工人生產能力的平均數；
（Ⅲ）求出K²，與臨界值比較，即可得出結論．

解答 解：（Ⅰ）由莖葉圖知A類工人中抽查人數為25名，…（1分）
∴B類工人中應抽查100-25=75（名）．…（2分）
由頻率分布直方圖得 （0.008+0.02+0.048+x）×10=1，得x=0.024．…（3分）
（Ⅱ）由莖葉圖知A類工人生產能力的中位數為122   …（4分）
由（Ⅰ）及頻率分布直方圖，估計B類工人生產能力的平均數為${\bar x_B}$=115×0.008×10+125×0.020×10+135×0.048×10+145×0.024×10=133.8    …（6分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）及所給數據得能力與培訓的2×2列聯表，

	短期培訓	長期培訓	合計
能力優(yōu)秀	8	54	62
能力不優(yōu)秀	17	21	38
合計	25	75	100

…（9分）
由上表得$k=\frac{{100×{{（8×21-17×54）}^2}}}{25×75×38×62}=\frac{{100×{{750}^2}}}{25×75×38×62}≈12.733$＞10.828   …（11分）
因此，可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為生產能力與培訓時間長短有關．…（12分）

點評 本題考查頻率分布直方圖及獨立性檢驗知識，考查學生的計算能力，屬于中檔題．