Question

【題目】已知函數.

（1）若，求函數的零點個數；

（2）若函數的最小值為2，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）零點個數為2；（2）.

【解析】

（1）由得或，再構造函數，求出其單調區間和極值，可判斷出與的圖像只有一個交點，從而可求出其零點的個數；

（2）由于，所以可化為，通過對求導判斷其單調區間極值，可得其值域為，所以問題轉化為當時，有解，得，然后構造函數求其值域可得的取值范圍.

（1）依題意，，令，

解得或，

令，則，

故當時，，當時，，

故當時，有最小值，且當時，，

故只有1個實數根，故當時，函數的零點個數為2.

（2）依題意，，

設，則，

故函數可化為，

由，可得的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

所以的最小值為，

故函數的值域為，

問題轉化為當時，有解，

即，得，

設，則，

故的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

所以的最小值為，故實數的取值范圍為.