Question

用坐標法證明：平面內(nèi)任意一點到矩形的一對對角頂點的距離平方和等于這個點到另一對對角頂點的距離平方和.

Answer 1

證明:如圖所示,取坐標軸和矩形邊平行建立坐標系,設(shè)P(x,y)為任意點,矩形四個頂點為?A(x₁,y₁),C(x₂,y₂),B(x₁,y₂),D(x₂,y₁),則有

|PA|²+|PC|²=(x₁-x)²+(y₁-y)²+(x₂-x)²+(y₂-y)²,

|PB|²+|PD|²=(x₁-x)²+(y₂-y)²+(x₂-x)²+(y₁-y)².

∴|PA|²+|PC|²=|PB|²+|PD|².

啟示:在上述證明中,若選取矩形的鄰邊AB、BC所在直線分別為y軸和x軸,那么矩形的四個頂點坐標為A(0,y₁),B(0,0),C(x₁,0),D(x₁,y₁),這樣數(shù)據(jù)更簡單,運算更簡便了.因此用坐標法解題,坐標系選取得適當,可以簡化運算過程.