Question

用坐標(biāo)法證明平面內(nèi)任意一點(diǎn)到矩形的一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)的距離平方和等于這個(gè)點(diǎn)到另一對(duì)對(duì)角頂點(diǎn)的距離平方和.

Answer 1

證明：如圖，取坐標(biāo)軸和矩形邊平行建立坐標(biāo)系，設(shè)P（x,y）為任意點(diǎn)，矩形四個(gè)頂點(diǎn)為A(x₁ ,y₁),C(x_2?,y₂),B(x₁ ,y₂),D(x_2?,y₁),則有?

|PA|²+|PC|²=(x₁-x)²+(y₁-y)²+(x₂-x)²+(y₂-y)²,?

|PB|²+|PD|²=(x₁-x)²+(y₂-y)²+(x₂-x)²+(y₁-y)².?

∴|PA| ²+|PC| ²=|PB| ²+|PD| ².

點(diǎn)評(píng)：在上述證明中，若選取矩形的鄰邊AB、BC所在直線分別為y軸和x軸，那么矩形的四個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（0,y₁）,B(0,0),C(x₁ ,0),D(x₁ ,y₁),這樣數(shù)據(jù)更簡單，運(yùn)算更簡便了.因此用坐標(biāo)法解題，坐標(biāo)系選取得適當(dāng)，可以簡化運(yùn)算過程.