Question

在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓E：（a＞b＞0）的左、右頂點分別為A₁，A₂，上、下頂點分別為B₁，B₂。設直線A₁B₁的傾斜角的正弦值為，圓C與以線段OA₂為直徑的圓關于直線A₁B₁對稱，
（Ⅰ）求橢圓E的離心率；
（Ⅱ）判斷直線A₁B₁與圓C的位置關系，并說明理由；
（Ⅲ）若圓C的面積為π，求圓C的方程。

Answer 1

解：（Ⅰ）設橢圓E的焦距為2c（c＞0），
因為直線A₁B₁的傾斜角的正弦值為，
所以，
于是a²=8b²，即a²=8（a²-c²），
所以橢圓E的離心率；
（Ⅱ）由可設a=4k（k＞0），，
于是A₁B₁的方程為，
故OA₂的中點（2k，0）到A₁B₁的距離，
又以OA₂為直徑的圓的半徑r=2k，即有d=r，
所以直線A₁B₁與圓C相切；
（Ⅲ）由圓C的面積為π知圓半徑為1，從而，
設OA₂的中點（1，1）關于直線A₁B₁：的對稱點為（m，n），
則，解得，
所以，圓C的方程為。