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如圖,平行四邊形AMBN的周長(zhǎng)為8,點(diǎn)M,N的坐標(biāo)分別為
(Ⅰ)求點(diǎn)A,B所在的曲線方程;
(Ⅱ)過點(diǎn)C(-2,0)的直線l與(Ⅰ)中曲線交于點(diǎn)D,與Y軸交于點(diǎn)E,且l∥OA,求證:為定值.

【答案】分析:(Ⅰ)由平行四邊形對(duì)邊相等,知|AM|+|AN|=|BM|+|BN|=4,由橢圓的定義,知點(diǎn)A,B所在的曲線是橢圓;且2a=4,c=,所以橢圓的方程可求;
(Ⅱ)如圖,設(shè)過點(diǎn)C的直線l方程為:y=k(x+2),與橢圓方程組成方程組,得交點(diǎn)D的坐標(biāo),直線l與Y軸相交,得點(diǎn)E的坐標(biāo),從而得向量的坐標(biāo)表示;又OA∥l,可設(shè)OA的方程為:y=kx,與橢圓方程組成方程組,得交點(diǎn)A的坐標(biāo),從而得的坐標(biāo)表示,代入計(jì)算即可.
解答:解:(Ⅰ)因?yàn)樗倪呅蜛MBN是平行四邊形,周長(zhǎng)為8,
所以兩點(diǎn)A,B到M,N的距離之和均為4,可知所求曲線為橢圓;
由橢圓定義可知,,b=1;
所求曲線方程為:(y≠0);
(Ⅱ)由已知,直線l的斜率存在,又直線l過點(diǎn)C(-2,0),
設(shè)直線l的方程為:y=k(x+2),
代入曲線方程,并整理得:(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0;
點(diǎn)C(-2,0)在曲線上,所以D();
E(0,2k),=
因?yàn)镺A∥l,所以設(shè)OA的方程為:y=kx;
代入曲線方程,并整理,得:(1+4k2)x2=4;
所以,;則
所以,為定值.
點(diǎn)評(píng):本題考查了橢圓的定義,直線與橢圓知識(shí)的綜合應(yīng)用,以及向量在解析幾何中的應(yīng)用;借助于圖形能幫助我們解決問題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)(1)如圖,平行四邊形ABCD中,M、N分別為DC、BC的中點(diǎn),已知
AM
=
c
AN
=
d
,試用
c
d
表示
AB
AD

(2)在△ABC中,若
AB
=
a
AC
=
b
若P,Q,S為線段BC的四等分點(diǎn),試證:
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖在平行四邊形ABCD中,M,N分別為DC,BC的中點(diǎn),已知
AB
=
a
AD
=
b
,試用
a
b
表示
AC
BD
AM,
AN

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

如圖,平行四邊形ABCD中,M是DC的中點(diǎn),N在線段BC上,且NC=2BN.已知
AM
=
c
AN
=
d
,試用
c
d
表示
AB
AD

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2013•淄博二模)如圖,平行四邊形ABCD中,AB=2,AD=1,∠A=60°,點(diǎn)M在AB邊上,且AM=
1
3
AB,則
DM
DB
•等于(  )

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)已知0<α<
π
4
,β為f(x)=cos(2x+
π
8
)的最小正周期,
a
=(tan(α+
1
4
β),-1),
b
=(cosα,2),且
a
b
=3.求
cos2α+sin2(α+β)
cosα-sinα
的值.  
(2)如圖,平行四邊形ABCD中,M、N分別為DC、BC的中點(diǎn),已知
AM
=
c
AN
=
d
,試用
c
d
表示
AB
AD

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同步練習(xí)冊(cè)答案
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