Question

（本小題滿分12分）已知橢圓C：（a>b>0）的離心率為，其左、右焦點分別是F₁、F₂，點P是坐標平面內的一點，且｜OP｜＝，·＝（點O為坐標原點）．

   （Ⅰ）求橢圓C的方程；

   （Ⅱ）直線y＝x與橢圓C在第一象限交于A點，若橢圓C上兩點M、N使＋＝λ，λ∈（0，2）求△OMN面積的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）設

由得，                               ……1分

由得，

即                                                    ……2分

所以，又因為，所以                         ……3分

橢圓C的方程為：；                                        ……4分

（Ⅱ）解法一:由得，

設直線的方程為,聯立方程組

消去y得：                        ……5分

設,

則                            ……6分

             

∵，∴，

得,于是           ……8分

  ……9分

到直線的距離為

∴，

當,即時等號成立，的最大值為           ……12分

解法二:由得，

設則

∴…………①                      ……5分

∵，

∴，代入①得，                    ……6分

設直線的方程為          ……7分

橢圓方程得  

，

                              ……9分

到直線的距離為

∴，                          ……11分

當時等號成立，的最大值為                  ……12分