Question

如圖,斜三棱柱ABC-A'B'C'中,底面是邊長為a的正三角形,側棱長為b,側棱AA'與底面相鄰兩邊AB,AC都成45°角.

(Ⅰ)求此斜三棱柱的表面積.

(Ⅱ)求三棱錐B'-ABC的體積.

 

Answer 1

【答案】

（1）(+1)ab+a²；（2）.

【解析】

試題分析：（1）要求表面積，最難求的是面的面積，要分析它的特征，如圖，過A'作A'D⊥平面ABC于點D,過點D作DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,連接A'E,A'F,AD.由題意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF. ，因此A'E=A'F,從而可得DE=DF.故AD平分∠BAC, 又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四邊形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的側面積為2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.又∵斜三棱柱的底面積為2×a²=a²,∴斜三棱柱的表面積為(+1)ab+a².（2）求B'-ABC的體積，要求出底面ABC的面積，高的求解根據(jù)，，，

所以.

試題解析：

（1）如圖，過A'作A'D⊥平面ABC于點D,過點D作DE⊥AB于點E,DF⊥AC于點F,連接A'E,A'F,AD.

由題意可知∠A'AE=∠A'AF=45°,AA'=AA',于是Rt△A'AE≌Rt△A'AF.

因此A'E=A'F,從而可得DE=DF.故AD平分∠BAC,

又∵AB=AC,∴BC⊥AD.故BC⊥AA'.∵AA'∥BB',∴BC⊥BB'.因此四邊形BCC'B'是矩形,故斜三棱柱的側面積為2×a×bsin45°+ab=(+1)ab.

又∵斜三棱柱的底面積為2×a²=a²,∴斜三棱柱的表面積為(+1)ab+a².

（2）由（1），，，所以.

考點：1.三棱錐體積和表面積的求解.