Question

已知如圖，斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側面A₁ACC₁與底面ABC垂直，∠ABC=90°，BC=2，AC=2

3

，且AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C．
（1）求側棱A₁A與底面ABC所成角的大小；
（2）求側面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小；
（3）求頂點C到側面A₁ABB₁的距離．

Answer 1

分析：（1）要求側棱A₁A與底面ABC所成角的大小；必須先找出線面角，就是∠A₁AC；
（2）要求側面A₁ABB₁與底面ABC所成二面角的大小；利用三垂線定理作出角，即作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB．所以∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角．求解即可；
（3）求頂點C到側面A₁ABB₁的距離，可以應用等體積法求解，也可以直接作出距離解三角形即可．

解答：（1）解：如圖作A₁D⊥AC，垂足為D，由面A₁ACC₁⊥面ABC，得A₁D⊥面ABC，
所以∠A₁AD為A₁A與面ABC所成的角．
因為AA₁⊥A₁C，AA₁=A₁C，
所以∠A₁AD=45°為所求．

（2）解：作DE⊥AB，垂足為E，連A₁E，則由A₁D⊥面ABC，得A₁E⊥AB．
所以∠A₁ED是面A₁ABB₁與面ABC所成二面角的平面角．
由已知，AB⊥BC，得ED∥BC．
又D是AC的中點，BC=2，AC=2

3

，
所以DE=1，AD=A₁D=

3

，tan∠A₁ED=

A1D

DE

=

3

．
故∠A₁ED=60°為所求．

（3）解法一：由點C作平面A₁ABB₁的垂線，垂足為H，
則CH的長是C到平面A₁ABB₁的距離．
連接HB，由于AB⊥BC，得AB⊥HB．
又A₁E⊥AB，知HB∥A₁E，且BC∥ED，
所以∠HBC=∠A₁ED=60°
所以CH=BCsin60°=

3

為所求．
解法二：連接A₁B．
根據定義，點C到面A₁ABB₁的距離，即為三棱錐C-A₁AB的高h．
由V錐C-A1AB=V錐A1-ABC得

1

3

S△AA1Bh=

1

3

S△ABCA1D，
即

1

3

×2

2

h=

1

3

×2

2

×

3

所以h=

3

為所求．

點評：本小題主要考查直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關系，棱柱的性質，
空間的角和距離的概念，邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力．