Question

【題目】已知函數f（x）=e﹣x（lnx﹣2k）（k為常數，e=2.71828…是自然對數的底數），曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與y軸垂直．
（1）求f（x）的單調區間；
（2）設 ，對任意x＞0，證明：（x+1）g（x）＜ex+ex﹣2 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：因為 ，

由已知得 ，∴ ．

所以 ，

設 ，則 ，

在（0，+∞）上恒成立，即k（x）在（0，+∞）上是減函數，

由k（1）=0知，當0＜x＜1時k（x）＞0，

從而f'（x）＞0，當x＞1時k（x）＜0，從而f'（x）＜0．

綜上可知，f（x）的單調遞增區間是（0，1），單調遞減區間是（1，+∞）

（2）解：因為x＞0，要證原式成立即證 成立，

現證明：對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2恒成立，

當x≥1時，由（1）知g（x）≤0＜1+e﹣2成立；

當0＜x＜1時，ex＞1，且由（1）知g（x）＞0，

∴ ．

設F（x）=1﹣xlnx﹣x，x∈（0，1），則F'（x）=﹣（lnx+2），

當x∈（0，e﹣2）時，F′（x）＞0，

當x∈（e﹣2，1）時，F′（x）＜0，

所以當x=e﹣2時，F（x）取得最大值F（e﹣2）=1+e﹣2．　

所以g（x）＜F（x）≤1+e﹣2，即0＜x＜1時，g（x）＜1+e﹣2．

綜上所述，對任意x＞0，g（x）＜1+e﹣2．①

令G（x）=ex﹣x﹣1（x＞0），則G'（x）=ex﹣1＞0恒成立，

所以G（x）在（0，+∞）上遞增，G（x）＞G（0）=0恒成立，

即ex＞x+1＞0，即 ．②

當x≥1時，有： ；

當0＜x＜1時，由①②式， ，

綜上所述，x＞0時， 成立，

故原不等式成立

【解析】（1）求出f（x）的導數，通過解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；（2）問題轉化為證 成立，從而證明 ，設F（x）=1﹣xlnx﹣x，根據函數的單調性證明即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數研究函數的單調性，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減即可以解答此題．