Question

設多面體ABCDEF，已知AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADF，△ADF是以AD為斜邊的等腰直角三角形，若∠ADC=120°，AD=2，AB=2，CD=4，EF=3，G為BC的中點．
（1）求證：EG∥平面ADF；
（2）求直線DE與平面ABCD所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意得：GH∥EF且GH=EF，則可得EFHG為平行四邊形，故EG∥FH又FH?平面ADF所以EG∥平面ADF
（2）FH⊥平面ABCD，且EG⊥平面ABCD可得∠EDG是直線DE與平面ABCD所成的角，解三角形△EGD得DG=

7

且DE=2

2

，cos∠EDG=

DG

DE

=

14

4

．
所以直線DE與平面ABCD所成角的余弦值

14

4

．

解答：（1）證明：如圖，設H是AD的中點，可得GH=3，則GH=EF，
又∵GH∥CD，EF∥CD
∴GH∥EF，則EFHG為平行四邊形，
故EG∥FH，
又∵FH?平面ADF
∴EG∥平面ADF；
（2）解：∵△ADF是以AD為斜邊的等腰直角三角形．
∴FH⊥AD，
又∵平面ADF⊥平面ABCD
∴FH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD
∴∠EDG是直線DE與平面ABCD所成的角
∵∠ADC=120°，∴∠BAD=60°，
又∵AB=AD=2，∴BD=2∴∠ADB=60°，
又∵CD=4，由余弦定理BC=2

3

∴∠DBC=90°，BG=

3

，
∴DG=

7

又∵EG=FH=1，∴DE=2

2

，
∴cos∠EDG=

DG

DE

=

14

4

所以直線DE與平面ABCD所成角的余弦值

14

4

．

點評：證明線面垂直關鍵是在平面內找一條與已知直線平行的直線；求線面角的步驟是找角作角求角關鍵是找角，這也是高考考查的重點．