Question

（2012•安慶模擬）設(shè)多面體ABCDEF，已知AB∥CD∥EF，平面ABCD⊥平面ADE，其中△ADE是以AD為斜邊的等腰直角三角形，點(diǎn)G為BC邊中點(diǎn)．若∠ADC=120°，AD=AB=2，CD=4，EF=3．
（1）求證：FG⊥平面ABCD；
（2）求二面角F-BD-C的大小．

Answer 1

分析：（1）取AD邊中點(diǎn)H，利用面ADE⊥面ABCD，證明EH⊥面ABCD，連接GH，可證四邊形EFGH為平行四邊形，從而可得結(jié)論；
（2）解法一：先證明∠FBG為二面角F-BD-C的平面角，再在Rt△FGB中，可求二面角大小為30°；
解法二：建立空間坐標(biāo)系，確定面BDC的法向量

n   1

=(0，0，1)，面BDF的法向量

n   2

=(

3

，-1，2

3

)，利用向量的夾角公式，可得結(jié)論．

解答：（1）證明：取AD邊中點(diǎn)H，在等腰直角三角形ADE中有EH⊥AD
又面ADE⊥面ABCD，∴EH⊥面ABCD，
連接GH，由于AB∥CD∥EF，且AB=2，CD=4
∴在梯形ABCD中，HG∥AB且HG=3，∴HG∥EF且HG=EF，
∴四邊形EFGH為平行四邊形
∴FG∥EH且FG=EH
∴FG⊥面ABCD…（5分）
（2）解法一：在梯形ABCD中，∠ADC=120°，∴∠DAB=60°
又AB=AD=2，∴∠ADB=60°且BD=2，
∴在△BDC中，BD=2，CD=4，∠BDC=60°，∴BD⊥BC，
又由（1）知FG⊥面ABCD，而FG?面FBC，∴面FBC⊥面ABCD
∴BD⊥面FBC，∴∠FBG為二面角F-BD-C的平面角．…（10分）
而在Rt△FGB中，FG=EH=1，BG=

1

2

BC=

3

，∴∠FBG=30°，∴所求二面角大小為30°…（12分）
解法二：建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，A（1，0，0），D（-1，0，0），E（0，0，1），B(0，

3

，0)，HG=3，∠DHG=60°，∴G(-

3

2

，

3 3

2

，0)∴F(-

3

2

，

3 3

2

，1)…（7分）
∴面BDC的法向量

n   1

=(0，0，1)
令面BDF的法向量

n   2

=(x，y，z)，則

n   2 • DB =0 n   2 • DF =0

∴

(x，y，z)•(1， 3 ，0)=0 (x，y，z)•(- 1 2 ， 3 3 2 ，1)=0

令y=-1，∴

n   2

=(

3

，-1，2

3

)，…（10分）  
記＜

n1

，n2

＞為θ，則cosθ=

n1 • n2

| n1 || n1 |

=

(0，0，1)•( 3 ，-1，2 3 )

1×4

=

3

2

，θ=30°
∴二面角大小為30°．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面垂直，考查面面角，考查利用空間向量解決空間角問(wèn)題，確定平面的法向量是關(guān)鍵．