Question

設(shè)實數(shù)m，n，x，y滿足m²+n²=3，x²+y²=4，則mx+ny的最大值為

2

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)所給的式子利用三角函數(shù)的平方關(guān)系進行換元，代入所求的式子，然后利用兩角和的余弦公式進行化簡，再由余弦函數(shù)的值域求出最大值．

解答：解：∵m²+n²=3，x²+y²=4，
∴設(shè)

m= 3 sinα n= 3 cosα

，

x=2sinβ y=2cosβ

，
∴mx+ny=2

3

（sinαsinβ+cosαcosβ）=2

3

cos（α-β），
∵-1≤cos（α-β）≤1，∴所求的最大值是2

3

，
故答案為：2

3

．

點評：本題主要考查了利用換元法求最值，利用三角函數(shù)的平方關(guān)系進行換元，再由兩角和（差）的余弦公式、余弦函數(shù)的值域進行求解，屬于基礎(chǔ)題．