Question

已知是不為零的常數，二次函數的定義域為R，函數為偶函數． 函數的定義域為．

(1)求的值；

（2）當、時，求函數的值域；

(3)是否存在實數、，使函數的值域為？如果存在，求出、的值； 如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：(1) ，       …………1分

        ，   …………2分

由為偶函數，知恒成立，得，…………3分

             ∴．                                                 …………4分

（直接由的表達式及偶函數得出，建議不扣分；用圖象平移及二次函數對稱軸得出，建議也不扣分．）

（2），對稱軸為直線．     …………5分

當、時，定義域為．

在上遞增，此時函數值的集合為，即；

在上遞減，此時函數值的集合為，

即（如圖）；

所以，當、時，

函數的值域為．                  …………8分

(3) 存在實數、，使函數的值域為．討論如下：

①當時，函數在遞增．若函數值域為，

             則，                                   …………9分

即、是方程的兩根，而方程的兩根是、，所以由<得，、．        …………10分

         ②當時，

若，函數的最大值為，則，相互矛盾．      …………11分

若，函數在遞減，函數值域為，則．

兩式相減后，變形得，而，

所以，，即，

代入得，此方程無實解，此時不存在、．…13分

綜上所述，存在實數、，使函數的值域為．  …………14分