Question

設f（x）=

x

a(x+2)

，且f（x）=x有唯一解，f（x₁）=

1

1003

，x_n+1=f（x_n）（n∈N^*）．
（1）求實數a；
（2）求數列{x_n}的通項公式；
（3）若a_n=

4

xn

-4009，b_n=

an+12+an2

2an+1an

（n∈N^*），求證：b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

Answer 1

分析：（1）由

x

a(x+2)

=x，得ax（x+2）=x，故ax²+（2a-1）x=0，由此能求出實數a．
（2）由（1）知，f（x）=

2x

x+2

．由x_n+1=f（x_n），得

2xn

xn+2

=xn+1，故

1

xn+1

=

1

xn

+

1

2

，由f(x1)=

1

1003

，得

2x1

x1+2

=

1

1003

，由此能求出數列{x_n}的通項公式．
（3）由xn=

2

n+2004

，知an=

n+2004

2

×4-4009=2n-1，故bn=

an+12+an2

2an+1an

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，由此能夠證明b₁+b₂+…+b_n＜n+1．

解答：解：（1）由

x

a(x+2)

=x，得ax（x+2）=x，
∴ax²+（2a-1）x=0，
當且僅當a=

1

2

時，
f（x）=x有唯一解x=0，∴a=

1

2

．
（2）由（1）知，f（x）=

2x

x+2

．
由x_n+1=f（x_n），得

2xn

xn+2

=xn+1，
∴

1

xn+1

=

1

xn

+

1

2

，
∴{

1

xn

}是以

1

x1

為首項，公差為

1

2

的等差數列，
由f(x1)=

1

1003

，得

2x1

x1+2

=

1

1003

，
∴

1

x1

=

2005

2

，
∴

1

xn

=

1

x1

+

1

2

(n-1)=

n+2004

2

．
∴xn=

2

n+2004

．
（3）∵xn=

2

n+2004

，∴an=

n+2004

2

×4-4009=2n-1，
∴bn=

an+12+an2

2an+1an

=

(2n-1)2+(2n+1)2

2(2n-1)(2n+1)

=

4n2+1

4n2-1

=1+

2

4n2-1

=1+

1

2n-1

-

1

2n+1

，
∴b₁+b₂+…+b_n=1+1-

1

3

+1+

1

3

-

1

5

+1+

1

5

-

1

7

+…+1+

1

2n-1

-

1

2n+1

=1+n-

1

2n-1

＜n+1．

點評：本題考查實數值的求法，數列通項公式的求法，證明不等式．解題時要認真審題，仔細解答，注意合理地進行等價轉化．