Question

設f（x）=

x

a(x+2)

，方程f （x）=x有唯一解，數列{x_n}滿足f （x₁）=1，x_n+1=f （x_n）（n∈N^*）．
（1）求數列{x_n}的通項公式；
（2）已知數列{a_n}滿足a₁=

1

2

，a_n+1=

1

4

（2+a_n）²-

2an

an+2

（n∈N^*），求證：對一切n≥2的正整數都滿足

3

4

＜

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

＜2．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x有唯一解可知對應的方程有唯一的解可求a，進而可求x_n+1與x_n的遞推關系，構造等差數列可求
（2）由a₁=

1

2

，a_n+1=

1

4

（2+a_n）²•

2an

2+an

=

(2+an)an

2

整理可得

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

，把已知代入即可得

1

nxn

=

1

an

-

1

an+1

，然后利用裂項即可求和，進而可證

解答：解：（1）由f（x）=x得ax²+（2a-1）x=0（a≠0）
∴當且僅當a=

1

2

時，f（x）=x有唯一解x=0，
∴f(x)=

2x

x+2

當f（x₁）=

2x1

2+x1

=1得x₁=2，由x_n+1=f （x_n）=

2xn

xn+2

可得

1

xn+1

-

1

xn

=

1

2

∴數列{

1

xn

}是首項為

1

x1

=

1

2

，公差為

1

2

的等差數列
∴

1

xn

=

1

2

+

1

2

(n-1)=

1

2

n
∴xn=

2

n

（2）∵a₁=

1

2

，a_n+1=

1

4

（2+a_n）²•

2an

2+an

=

(2+an)an

2

　又a1=

1

2

∴

1

an+1

=

2

an(2+an)

=

1

an

-

1

an+2

　且a_n＞0，
∴

1

an+2

=

1

an

-

1

an+1

即

1

nxn

=

1

an

-

1

an+1

當n≥2時，

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

≥

1

2+ 1 2

+

1

2+ 5 8

=

82

105

＞

3

4

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

=(

1

a1

-

1

a2

)+(

1

a2

-

1

a3

)+…+(

1

an

-

1

an+1

）
=

1

a1

-

1

an+1

=2-

1

an+1

＜2
∴對一切n≥2的正整數都滿足

3

4

＜

1

x1+a1

+

1

2x2+a2

+…+

1

nxn+an

＜2．

點評：本題主要考查了利用數列的遞推公式構造等差數列求解數列的通項公式及數列的裂項求和在不等式中的應用．