Question

已知P（t，t），t∈R，點M是圓x²+（y-1）²=

1

4

上的動點，點N是圓(x-2)2+y2=

1

4

上的動點，則|PN|-|PM|的最大值是

2

．

Answer 1

分析：先根據兩圓的方程求出圓心和半徑，結合圖形，把求|PN||-|PM|的最大值轉化為|PF|-|PE|+1的最大值，再利用|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1，求出所求式子的最大值．

解答：解：如圖：

圓 x2+(y-1)2=

1

4

的圓心E（0，1），圓 (x-2)2+y2=

1

4

的圓心 F（2，0），這兩個圓的半徑都是

1

2

．
要使|PN||-|PM|最大，需|PN|最大，且|PM|最小，由圖可得，|PN|最大值為|PF|+

1

2

，PM|的最小值為|PE|-

1

2

，
故|PN||-|PM|最大值是  （|PF|+

1

2

 ）-（|PE|-

1

2

 ）=|PF|-|PE|+1，
點P（t，t）在直線 y=x上，E（0，1）關于y=x的對稱點E′（1，0），直線FE′與y=x的交點為原點O，
則|PF|-|PE|=|PF|-|PE′|≤|E′F|=1，故|PF|-|PE|+1的最大值為1+1=2，
故答案為2．

點評：本題的考點是圓的方程的綜合應用，主要考查圓的標準方程，點與圓的位置關系，體現了轉化及數形結合的數學思想．