Question

已知點M為等邊三角形ABC的中心，AB=2，直線l過點M交邊AB于點P，交邊AC于點Q，則

BQ

•

CP

的最大值為

-

22

9

．

Answer 1

分析：通過建立直角坐標系，利用直線的方程聯立即可得出點P，Q的坐標，再利用數量積運算和函數的單調性即可得出．

解答：解：如圖所示，建立直角坐標系．則A(0，

3

)，B（-1，0），C（1，0），M(0，

3

3

)．
設直線l的斜率為k，則(-

3

3

≤k≤

3

3

)．則直線l的方程為y=kx+

3

3

．
又直線AC的方程為x+

y

3

=1，直線AB的方程為-x+

y

3

=1．
聯立

y=kx+ 3 3 x+ y 3 =1

，解得Q(

2

3+ 3 k

，

1+ 3 k

3 +k

)．
同理解得P(

2

3 k-3

，

3 k-1

k- 3

)．
∴

BQ

•

CP

=(

2

3+ 3 k

+1，

1+ 3 k

3 +k

)•(

2

3 k-3

-1，

3 k-1

k- 3

)=

6k2+22

3k2-9

=2+

40

3k2-9

，
∵0≤k2≤

1

3

．
∴當且僅當k=0時，

BQ

•

CP

的最大值為 -

22

9

．
故答案為-

22

9

．

點評：通過建立直角坐標系利用直線的方程聯立得出交點坐標及掌握數量積運算和函數的單調性等是解題的關鍵．