Question

設G，Q分別為△ABC的重心和外心，A（0，-1），B（0，1），且GQ∥AB．
（I）求點C的軌跡E的方程；
（II）若l₀是過點P（1，0）且垂直于x軸的直線，是否存在直線l，使得l與曲線E交于兩個不同的點M，N，且MN恰被l₀平分？若存在，求出l的斜率的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（I）設C（x，y），由重心坐標公式的到G的坐標，再由GQ∥AB及Q在x軸上得到Q的坐標，又由|QB|=|QC建立方程．
（II）假設存在直線l：y=kx+m，代入跡E的方程，利用判別式大于0，及交點的中點橫坐標為1，解出斜率的范圍．

解答：解：（I）設C（x，y），則G(

x

3

，

y

3

)，因為GQ∥AB，可得Q(

x

3

，0)；又由|QB|=|QC|，
可得點C的軌跡E的方程為

x2

3

+y2=1(x≠0)．（6分）（沒有x≠0扣1分）
（II）假設存在直線l：y=kx+m，代入

x2

3

+y2=1
并整理得（1+3k²）x²+6mkx+3（m²-1）=0，（8分）
設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則

x1+x2

2

=

-3mk

1+3k2

=1（*）（10分）
又△=36m²k²-12（1+3k²）（m²-1）
=4(1+3k2)[(1+3k2)-

(1+3k2)2

3k2

+3]=4(1+3k2)

6k2-1

3k2

＞0，
解得k＞

6

6

或k＜-

6

6

（13分）
特別地，若m=±1，代入（*）得，3k²±3k+1=0，此方程無解，即x≠0．
綜上，l的斜率的取值范圍是k＞

6

6

或k＜-

6

6

．（14分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，直線和圓錐曲線的位置關系．