Question

設G、M分別為不等邊△ABC的重心與外心，A（-1，0）、B（1，0），GM∥AB．
（1）求點C的軌跡方程；
（2）設點C的軌跡為曲線E，是否存在直線l，使l過點（0.1）并與曲線E交于P、Q兩點，且滿足？若存在，求出直線l的方程，若不存在，說明理由．
注：三角形的重心的概念和性質如下：設△ABC的重心，且有．

Answer 1

解：可設C點的坐標為（x，y）．
由重心坐標的公式，可得G（）
外心M在AB的垂直平分線上，顯然AB所在直線為y=0，外心就落在y軸上，橫坐標為零；
設外心坐標M（0，b），由GM∥AB可知
那么就確定了外心坐標M（0，）
由外心定義，CM=AM=BM，AM已經等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可
不妨CM=AM，
∴
整理可得點C的軌跡方程為 x²+
（II）假設存在直線l滿足條件，設直線l方程為y=kx+1，
由消去x，得（3+k²）x²+2kx-2=0
∵直線l與曲線E并于P、Q兩點，∴△=4k²+8（2+k²）＞0
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則
∵，
∴x₁x₂+y₁y₂=-2，即x₁x₂+（kx₁+1）（kx₂+1）=-2．
（1+k²）x₁x₂+k（x₁+x₂）+3=0，（1+k²）
解得k²=7，∴k=±
故存在直線l：y=±+1，使得，
分析：可設C點的坐標為（x，y），由重心坐標的公式，可得G（），再由外心M在AB的垂直平分線上，而AB所在直線為y=0，外心就落在y軸上，橫坐標為零，則可設外心坐標M（0，b），由GM∥AB可得M（0，），由外心定義，CM=AM=BM，AM已經等于Bm了，只需要令CM=AM或者CM=BM即可，代入距離公式可求點C的軌跡方程．
（II）假設存在直線l滿足條件，設直線l方程為y=kx+1，，聯(lián)立直線與橢圓的方程，由，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系代入可求K
點評：本題主要考查了三角形的外心與重心性質的應用，點的軌跡方程的求解，直線與橢圓相交關系中的方程的根與系數(shù)關系的應用及一定的推理與運算的能力的考查，具有一定的綜合性．