Question

【題目】已知函數f（x）= x2+ax，g（x）=ex ， a∈R且a≠0，e=2.718…，e為自然對數的底數．
（Ⅰ）求函數h（x）=f（x）g（x）在[﹣1，1]上極值點的個數；
（Ⅱ）令函數p（x）=f'（x）g（x），若a∈[1，3]，函數p（x）在區間[b+a﹣ea ， +∞]上均為增函數，求證：b≥e3﹣7．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵f（x）= x2+ax，g（x）=ex ， ∴h（x）=f（x）g（x）=（ x2+ax）ex ， h′（x）= ，
令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，由t（x）=0，得 ＜﹣1， ＞﹣1．
若a≤ ，則x2≥1，t（x）≤0在[﹣1，1]上恒成立，即h′（x）在[﹣1，1]上恒成立，h（x）單調遞減，在[﹣1，1]上無極值點；
若a＞﹣ ，則﹣1＜x2＜1，當x∈[﹣1，x2）時，t（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）單調遞減，當x∈（x2 ， 1]時，t（x）＞0，即h′（x）＞0，h（x）單調遞增，
∴x2是函數h（x）=f（x）g（x）在[﹣1，1]上的一個極值點．
（Ⅱ）證明：p（x）=f'（x）g（x）=（x+a）ex ， p′（x）=ex（x+a+1），
∵函數p（x）在區間[b+a﹣ea ， +∞]上為增函數，∴ex（x+a+1）≥0在區間[b+a﹣ea ， +∞]上恒成立，
即x+a+1≥0在區間[b+a﹣ea ， +∞]上恒成立，
則b+a﹣ea+a+1≥0對a∈[1，3]恒成立，
∴b≥ea﹣2a﹣1對a∈[1，3]恒成立，
令φ（a）=ea﹣2a﹣1，則φ′（a）=ea﹣2＞0，
∴φ（a）=ea﹣2a﹣1在[1，3]上為增函數，則φ（a）的最大值為φ（3）=e3﹣7．
∴b≥e3﹣7．
【解析】（Ⅰ）求出函數h（x）的導函數，h′（x）= ，令t（x）=x2+2（a+1）x+2a，求出t（x）的兩個零點 ＜﹣1， ＞﹣1．然后分a≤ 和a＞﹣ 討論函數的單調性，從而求得函數h（x）=f（x）g（x）在[﹣1，1]上的一個極值點的個數；（Ⅱ）由函數p（x）在區間[b+a﹣ea ， +∞]上為增函數，可得p′（x）=ex（x+a+1）≥0在區間[b+a﹣ea ， +∞]上恒成立，轉化為x+a+1≥0在區間[b+a﹣ea ， +∞]上恒成立，得到b≥ea﹣2a﹣1對a∈[1，3]恒成立，令φ（a）=ea﹣2a﹣1，求導可得φ（a）=ea﹣2a﹣1在[1，3]上為增函數，則φ（a）的最大值為φ（3）=e3﹣7．從而證得b≥e3﹣7．
【考點精析】認真審題，首先需要了解利用導數研究函數的單調性(一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減)，還要掌握函數的極值與導數(求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值)的相關知識才是答題的關鍵．